Cho hàm số ${f}'\left( x \right)={{\left( x-2 \right)}^{2}}\left(...

Ta có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right. $, $ x=2 $ là nghiệm kép nên khi qua giá trị $ x=2 $ thì $ {f}'\left( x \right)$
không bị đổi dấu.
Đặt $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right)$ khi đó ${g}'\left( x \right)=\left( 2x-10 \right).{f}'\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right)$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x-10=0 \\
& {{\left( {{x}^{2}}-10x+m+9-2 \right)}^{2}}=0 \\
& {{x}^{2}}-10x+m+9=1 \\
& {{x}^{2}}-10x+m+9=3 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=5 \\
& {{\left( {{x}^{2}}-10x+m+9-2 \right)}^{2}}=0 \\
& {{x}^{2}}-10x+m+8=0 \left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-10x+m+6=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right)$ có $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi ${g}'\left( x \right)$ đổi dấu $5$ lần
Hay phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, mỗi phương trình phải có hai nghiệm phân biệt khác $5$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\Delta }_{1}}^{\prime }>0 \\
& {{\Delta }_{2}}^{\prime }>0 \\
& h\left( 5 \right)\ne 0 \\
& p\left( 5 \right)\ne 0 \\
\end{aligned} \right. $, (Với $ h\left( x \right)={{x}^{2}}-10x+m+8 $ và $ p\left( x \right)={{x}^{2}}-10x+m+6$)
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 17-m>0 \\
& 19-m>0 \\
& -17+m\ne 0 \\
& -19+m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<17 $. Vì $ m\in {{\mathbb{N}}^{*}}\Rightarrow m\in \left\{ 1, 2, 3, ...,16 \right\}$.
Vậy có $16$ giá trị nguyên dương $m$ thỏa mãn.