Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f'\left( x \right)={{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dưong của tham số m để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right)$ có 5 điểm cực trị?
A. 17.
B. 18.
C. 15.
D. 16.
A. 17.
B. 18.
C. 15.
D. 16.
Ta có:
$\left[ f\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right) \right]'=\left( 2x-10 \right){{\left( {{x}^{2}}-10x+m+7 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-10x+m+8 \right)\left( {{x}^{2}}-10x+m+6 \right)$
Để $y=f\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right)$ có 5 điểm cực trị điều kiện là các phương trình:
${{x}^{2}}-10x+m+8=0$ (1) và ${{x}^{2}}-10x+m+6=0$ (2) đều có hai nghiệm phân biệt khác 5, hay điều kiện là:
$\left\{ \begin{aligned}
& \Delta _{1}^{'}>0 \\
& \Delta _{2}^{'}>0 \\
& 25-50+m+8\ne 0 \\
& 25-50+m+6\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 17-m>0 \\
& 19-m>0 \\
& m\ne 17 \\
& m\ne 19 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<17$
$f'\left( \text{u}\left( \text{x} \right) \right)=u'\left( x \right).f'\left( u \right)$
Phương trình $\text{a}{{\text{x}}^{2}}\text{+bx+c=0}\left( a\ne 0 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt khi và chi khi $\Delta ={{b}^{2}}-4ac>0$ hoặc $\Delta '={{\left( b' \right)}^{2}}-ac$.
$\left[ f\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right) \right]'=\left( 2x-10 \right){{\left( {{x}^{2}}-10x+m+7 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-10x+m+8 \right)\left( {{x}^{2}}-10x+m+6 \right)$
Để $y=f\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right)$ có 5 điểm cực trị điều kiện là các phương trình:
${{x}^{2}}-10x+m+8=0$ (1) và ${{x}^{2}}-10x+m+6=0$ (2) đều có hai nghiệm phân biệt khác 5, hay điều kiện là:
$\left\{ \begin{aligned}
& \Delta _{1}^{'}>0 \\
& \Delta _{2}^{'}>0 \\
& 25-50+m+8\ne 0 \\
& 25-50+m+6\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 17-m>0 \\
& 19-m>0 \\
& m\ne 17 \\
& m\ne 19 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<17$
Note 78: Phương pháp chung
Hàm số y = f(x) có đúng 5 điểm cực trị khi phương trình $f'\left( x \right)=0$ có 5 nghiệm bội lẻ phân biệt.$f'\left( \text{u}\left( \text{x} \right) \right)=u'\left( x \right).f'\left( u \right)$
Phương trình $\text{a}{{\text{x}}^{2}}\text{+bx+c=0}\left( a\ne 0 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt khi và chi khi $\Delta ={{b}^{2}}-4ac>0$ hoặc $\Delta '={{\left( b' \right)}^{2}}-ac$.
Đáp án D.