Google
Câu hỏi: Cho hàm số $F\left( x \right)=\left( x-1 \right){{e}^{x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{f\left( x \right)}{{{e}^{x}}}$. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $\dfrac{{f}'\left( x \right)}{{{e}^{2x}}}$
A. $x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+C$.
B. $\left( x+{{x}^{2}} \right){{e}^{x}}+C$.
C. $\left( x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right){{e}^{x}}+C$.
D. $x+{{x}^{2}}+C$.
A. $x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+C$.
B. $\left( x+{{x}^{2}} \right){{e}^{x}}+C$.
C. $\left( x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right){{e}^{x}}+C$.
D. $x+{{x}^{2}}+C$.
Ta có $F\left( x \right)=\left( x-1 \right){{e}^{x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{f\left( x \right)}{{{e}^{x}}}$ $\Rightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{{{e}^{x}}}={F}'\left( x \right)={{e}^{x}}+\left( x-1 \right){{e}^{x}}=x{{e}^{x}}\Rightarrow f\left( x \right)=x{{e}^{2x}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)={{e}^{2x}}+2x{{e}^{2x}}=\left( 1+2x \right){{e}^{2x}}$.
$\Rightarrow \dfrac{{f}'\left( x \right)}{{{e}^{2x}}}=1+2x\Rightarrow \int{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{{{e}^{2x}}}\text{d}}x=\int{\left( 1+2x \right)\text{d}x}=x+{{x}^{2}}+C$.
$\Rightarrow \dfrac{{f}'\left( x \right)}{{{e}^{2x}}}=1+2x\Rightarrow \int{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{{{e}^{2x}}}\text{d}}x=\int{\left( 1+2x \right)\text{d}x}=x+{{x}^{2}}+C$.
Đáp án D.