Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( a{{x}^{2}}+4ax-a+b-2 \right)$, với $a,b\in \mathbb{R}$. Biết trên khoảng $\left( -\dfrac{4}{3};0 \right)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=-1$. Vậy trên đoạn $\left[ -2;-\dfrac{5}{4} \right]$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
A. $x=-2$
B. $x=-\dfrac{3}{2}$
C. $x=-\dfrac{4}{3}$
D. $x=-\dfrac{5}{4}$
A. $x=-2$
B. $x=-\dfrac{3}{2}$
C. $x=-\dfrac{4}{3}$
D. $x=-\dfrac{5}{4}$
Ta có: ${f}'\left( x \right)=2\left( x-1 \right)\left( a{{x}^{2}}+4ax-a+b-2 \right)+{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 2ax+4a \right)$
$=\left( x-1 \right)\left( 4a{{x}^{2}}+10ax-6a+2b-4 \right)$
Vì là điểm cực đại của hàm số
Suy ra: ${f}'\left( -1 \right)=0\Leftrightarrow -12a+2b-4=0\Leftrightarrow b=6a+2$
Khi đó: ${f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( 4a{{x}^{2}}+10ax+6a \right)=2a\left( x-1 \right)\left( 2{{x}^{2}}+5x+3 \right)$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x\in \left\{ 1;-1;-\dfrac{3}{2} \right\}$
Do $x=-1$ là điểm cực đại nên a > 0, do đó ta có trục dấu của ${f}'\left( x \right)$
Suy ra $\underset{\left[ -2;-\dfrac{5}{4} \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( -\dfrac{3}{2} \right)$ hay trên đoạn $\left[ -2;-\dfrac{5}{4} \right]$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=-\dfrac{3}{2}$
$=\left( x-1 \right)\left( 4a{{x}^{2}}+10ax-6a+2b-4 \right)$
Vì là điểm cực đại của hàm số
Suy ra: ${f}'\left( -1 \right)=0\Leftrightarrow -12a+2b-4=0\Leftrightarrow b=6a+2$
Khi đó: ${f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( 4a{{x}^{2}}+10ax+6a \right)=2a\left( x-1 \right)\left( 2{{x}^{2}}+5x+3 \right)$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x\in \left\{ 1;-1;-\dfrac{3}{2} \right\}$
Do $x=-1$ là điểm cực đại nên a > 0, do đó ta có trục dấu của ${f}'\left( x \right)$
Suy ra $\underset{\left[ -2;-\dfrac{5}{4} \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( -\dfrac{3}{2} \right)$ hay trên đoạn $\left[ -2;-\dfrac{5}{4} \right]$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=-\dfrac{3}{2}$
Đáp án B.