Cho hàm số $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left(...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = {(x - 1)}^{2} (a x^{2} + 4 a x - a + b - 2)

, với

a, b \in R

. Biết trên khoảng

(- \frac{4}{3}; 0)

hàm số đạt giá trị lớn nhất tại

x = - 1

. Vậy trên đoạn

[- 2; - \frac{5}{4}]

hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
A.

x = - 2

B.

x = - \frac{3}{2}

C.

x = - \frac{4}{3}

D.

x = - \frac{5}{4}

Ta có:

f^{'} (x) = 2 (x - 1) (a x^{2} + 4 a x - a + b - 2) + {(x - 1)}^{2} (2 a x + 4 a)

= (x - 1) (4 a x^{2} + 10 a x - 6 a + 2 b - 4)

Vì là điểm cực đại của hàm số
Suy ra:

f^{'} (- 1) = 0 \Leftrightarrow - 12 a + 2 b - 4 = 0 \Leftrightarrow b = 6 a + 2

Khi đó:

f^{'} (x) = (x - 1) (4 a x^{2} + 10 a x + 6 a) = 2 a (x - 1) (2 x^{2} + 5 x + 3)

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x \in {1; - 1; - \frac{3}{2}}

Do

x = - 1

là điểm cực đại nên a > 0, do đó ta có trục dấu của

f^{'} (x)

Suy ra

min_{[- 2; - \frac{5}{4}]} f (x) = f (- \frac{3}{2})

hay trên đoạn

[- 2; - \frac{5}{4}]

hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

x = - \frac{3}{2}

Đáp án B.