Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& 1+x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+....+\dfrac{{{x}^{2019}}}{2019!}-{{e}^{x}} khi x\ge 0 \\
& -{{x}^{2}}-10x khi x<0 \\
\end{aligned} \right.$. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên
dương và chia hết cho 5 của tham số m để bất phương trình $m-f\left( x \right)\le 0$ có nghiệm?
A. 5
B. 25.
C. 6.
D. 0.
& 1+x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+....+\dfrac{{{x}^{2019}}}{2019!}-{{e}^{x}} khi x\ge 0 \\
& -{{x}^{2}}-10x khi x<0 \\
\end{aligned} \right.$. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên
dương và chia hết cho 5 của tham số m để bất phương trình $m-f\left( x \right)\le 0$ có nghiệm?
A. 5
B. 25.
C. 6.
D. 0.
Lời giải
$+m-f\left( x \right)\le 0$ có nghiệm. $\Leftrightarrow m\le f\left( x \right)$ có nghiệm.
$\Leftrightarrow m\le \underset{\mathbb{R}}{\mathop{max}} f\left( x \right)$
+ Đặt ${{g}_{2019}}\left( x \right)=1+x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{2}}}{3!}+...+\dfrac{{{x}^{2019}}}{2019!}-{{e}^{x}}$ và ${{g}_{k}}\left( x \right)={{g}_{k+1}}'\left( x \right)$
Khi đó
${{g}_{0}}\left( x \right)=1-{{e}^{x}}\le 0,\forall x\ge 0\Rightarrow {{g}_{1}}\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ 0;+\infty \right)\Rightarrow {{g}_{1}}\left( x \right)\le {{g}_{1}}\left( 0 \right)=1-e<0,\forall x\ge 0.$
Suy ra ${{g}_{2}}\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$.
Tương tự, ${{g}_{2019}}\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$.
Suy ra $\underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{Max}} f\left( x \right)=g\left( 0 \right)=1-e$
Mặt khác $\underset{\left( -\infty ;0 \right)}{\mathop{Max}} f\left( x \right)=\underset{\left( -\infty ;0 \right)}{\mathop{Max}} \left\{ -{{x}^{2}}-10x \right\}=25$
Vậy $\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{max}} f\left( x \right)=25$, do đó $\Leftrightarrow m\le 25.$ Suy ra $m\in \left\{ 5;10;15;20;25 \right\}$
$+m-f\left( x \right)\le 0$ có nghiệm. $\Leftrightarrow m\le f\left( x \right)$ có nghiệm.
$\Leftrightarrow m\le \underset{\mathbb{R}}{\mathop{max}} f\left( x \right)$
+ Đặt ${{g}_{2019}}\left( x \right)=1+x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{2}}}{3!}+...+\dfrac{{{x}^{2019}}}{2019!}-{{e}^{x}}$ và ${{g}_{k}}\left( x \right)={{g}_{k+1}}'\left( x \right)$
Khi đó
${{g}_{0}}\left( x \right)=1-{{e}^{x}}\le 0,\forall x\ge 0\Rightarrow {{g}_{1}}\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ 0;+\infty \right)\Rightarrow {{g}_{1}}\left( x \right)\le {{g}_{1}}\left( 0 \right)=1-e<0,\forall x\ge 0.$
Suy ra ${{g}_{2}}\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$.
Tương tự, ${{g}_{2019}}\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$.
Suy ra $\underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{Max}} f\left( x \right)=g\left( 0 \right)=1-e$
Mặt khác $\underset{\left( -\infty ;0 \right)}{\mathop{Max}} f\left( x \right)=\underset{\left( -\infty ;0 \right)}{\mathop{Max}} \left\{ -{{x}^{2}}-10x \right\}=25$
Vậy $\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{max}} f\left( x \right)=25$, do đó $\Leftrightarrow m\le 25.$ Suy ra $m\in \left\{ 5;10;15;20;25 \right\}$
Đáp án A.