Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned} &...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = {\begin{aligned} e^{x} + a khi x \geq 0 \\ - x^{3} + b x khi x < 0 \end{aligned}

có đạo hàm tại

x_{0} = 0

. Tích phân

I = \int_{\ln (\frac{e}{e + 1})}^{- \ln (e + 1)} \frac{1}{1 + a e^{x}} f (\ln (b e^{- x} + a)) d x = m - n e

. Giá trị của

P = 2 m + \frac{n}{2}

bằng
A.

P = 3

.
B.

P = 5

.
C.

P = \frac{5}{2}

.
D.

P = \frac{3}{2}

.

Hàm số

f (x)

có đạo hàm tại

x_{0} = 0

khi và chỉ khi:

{\begin{aligned} lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} f (x) \\ f^{'} (0^{+}) = f^{'} (0^{-}) \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} 1 + a = 0 \\ 1 = b \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = - 1 \\ b = 1 \end{aligned}

Khi đó

f (x) = {\begin{aligned} e^{x} - 1 khi x \geq 0 \\ - x^{3} + x khi x < 0 \end{aligned}

nên

I = \int_{\ln (\frac{e}{e + 1})}^{- \ln (e + 1)} \frac{1}{1 - e^{x}} f (\ln (e^{- x} - 1)) d x

.
Đặt

t = \ln (e^{- x} - 1) \Rightarrow d t = \frac{- e^{- x}}{e^{- x} - 1} d x = - \frac{1}{1 - e^{x}} d x \Rightarrow - d t = \frac{1}{1 - e^{x}} d x

Đổi biến:
Với

x = \ln \frac{e}{e + 1} \Rightarrow t = - 1

Với

x = - \ln (e + 1) \Rightarrow t = 1

\begin{aligned} I = - \int_{- 1}^{1} f (t) d t = - \int_{- 1}^{1} f (x) d x = - \int_{- 1}^{0} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x \\ = - \int_{- 1}^{0} (- x^{3} + x) d x - \int_{0}^{1} (e^{x} - 1) d x = \frac{1}{4} - (e - 2) = \frac{9}{4} - e \Rightarrow m = \frac{9}{4}; n = 1 \Rightarrow P = 2 m + \frac{n}{2} = 5. \end{aligned}

Đáp án B.