Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& {{\text{e}}^{x}}+m\text{khi} x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}}\text{khi} x<0 \\
\end{aligned} \right. $ (với m là tham số). Biết hàm số $ f\left( x \right) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và $ \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=a.\text{e}-\dfrac{b}{c} $ với $ a,b,c\in {{\mathbb{N}}^{*}};\dfrac{b}{c} $ tối giản $ \left( \text{e}=2,718281828 \right) $. Biều thức $ a+b+c+m$ có giá trị bằng
A. $35$.
B. $13$.
C. $36$.
D. $-11$.
Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên R nên liên tục tại $x=0$ nên
$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f(x)=f\left( 0 \right)\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( {{e}^{x}}+m \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left( {{x}^{2}}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}} \right)\Leftrightarrow m=-1$.
Ta có
$\begin{aligned}
& \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)\text{d}x}+\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x=}\int\limits_{-1}^{0}{{{x}^{2}}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}}\text{d}x}+\int\limits_{0}^{1}{\left( {{\text{e}}^{x}}-1 \right)\text{d}x} \\
& =\dfrac{1}{3}\int\limits_{-1}^{0}{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}}\text{d}\left( {{x}^{3}}+1 \right)}+\int\limits_{0}^{1}{\text{d}\left( {{\text{e}}^{x}}-x \right)} \\
& \left. =\dfrac{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{4}}}{12} \right|_{-1}^{0}+\left. \left( {{\text{e}}^{x}}-x \right) \right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{12}+\text{e}-1-1=\text{e}-\dfrac{23}{12}. \\
\end{aligned}$
Suy ra $a=1,b=23,c=12$.
Vậy $a+b+c+m=35$.
& {{\text{e}}^{x}}+m\text{khi} x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}}\text{khi} x<0 \\
\end{aligned} \right. $ (với m là tham số). Biết hàm số $ f\left( x \right) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và $ \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=a.\text{e}-\dfrac{b}{c} $ với $ a,b,c\in {{\mathbb{N}}^{*}};\dfrac{b}{c} $ tối giản $ \left( \text{e}=2,718281828 \right) $. Biều thức $ a+b+c+m$ có giá trị bằng
A. $35$.
B. $13$.
C. $36$.
D. $-11$.
Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên R nên liên tục tại $x=0$ nên
$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f(x)=f\left( 0 \right)\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( {{e}^{x}}+m \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left( {{x}^{2}}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}} \right)\Leftrightarrow m=-1$.
Ta có
$\begin{aligned}
& \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)\text{d}x}+\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x=}\int\limits_{-1}^{0}{{{x}^{2}}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}}\text{d}x}+\int\limits_{0}^{1}{\left( {{\text{e}}^{x}}-1 \right)\text{d}x} \\
& =\dfrac{1}{3}\int\limits_{-1}^{0}{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{3}}\text{d}\left( {{x}^{3}}+1 \right)}+\int\limits_{0}^{1}{\text{d}\left( {{\text{e}}^{x}}-x \right)} \\
& \left. =\dfrac{{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{4}}}{12} \right|_{-1}^{0}+\left. \left( {{\text{e}}^{x}}-x \right) \right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{12}+\text{e}-1-1=\text{e}-\dfrac{23}{12}. \\
\end{aligned}$
Suy ra $a=1,b=23,c=12$.
Vậy $a+b+c+m=35$.
Đáp án A.