Google
Câu hỏi: Cho hàm số$f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{3-{{x}^{2}}}{2} khi x<1 \\
& \dfrac{1}{x} khi x\ge 1 \\
\end{aligned} \right.$. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại x = 1.
B. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại x = 1.
C. Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại x = 1 và hàm số $f\left( x \right)$ cũng có đạo hàm tại x = 1.
D. Hàm số $f\left( x \right)$ không có đạo hàm tại x = 1.
& \dfrac{3-{{x}^{2}}}{2} khi x<1 \\
& \dfrac{1}{x} khi x\ge 1 \\
\end{aligned} \right.$. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại x = 1.
B. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại x = 1.
C. Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại x = 1 và hàm số $f\left( x \right)$ cũng có đạo hàm tại x = 1.
D. Hàm số $f\left( x \right)$ không có đạo hàm tại x = 1.
Ta có $f\left( 1 \right)=1;\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{3-{{x}^{2}}}{2}=1$ và $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{x}=1.$
Do đó $f\left( 1 \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)$, hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại x = 1.
Lại có $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\dfrac{3-{{x}^{2}}}{2}-1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1-{{x}^{2}}}{2\left( x-1 \right)}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1+x}{-2}=-1$
và $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\dfrac{1}{x}-1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1-x}{x\left( x-1 \right)}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{-1}{x}=-1.$
Do đó, hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại x = 1.
Do đó $f\left( 1 \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)$, hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại x = 1.
Lại có $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\dfrac{3-{{x}^{2}}}{2}-1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1-{{x}^{2}}}{2\left( x-1 \right)}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1+x}{-2}=-1$
và $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\dfrac{1}{x}-1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1-x}{x\left( x-1 \right)}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{-1}{x}=-1.$
Do đó, hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại x = 1.
Đáp án D.