Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned} &...

The Professor · 31/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = {\begin{aligned} e^{x} + m khi x \geq 0 \\ 2 x \sqrt{3 + x^{2}} khi x < 0 \end{aligned}

liên tục trên

R

và

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = a e + b \sqrt{3} + c

,

(a, b, c \in Q)

. Tổng

a + b + 3 c

bằng
A.

15

.
B.

- 10

.
C.

- 19

.
D.

- 17

.

Mặt phẳng đi qua

A

và vuông góc với đường thẳng

d

có một véc-tơ pháp tuyến Ta có

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} (e^{x} + m) = m + 1

,

lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} (2 x \sqrt{3 + x^{2}}) = 0

và

f (0) = m + 1

.
Vì hàm số đã cho liên tục trên

R

nên liên tục tại

x = 0

.
Suy ra

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} f (x) = f (0)

hay

m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1

.
Khi đó

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = \int_{- 1}^{0} 2 x \sqrt{3 + x^{2}} d x + \int_{0}^{1} (e^{x} - 1) d x = \int_{- 1}^{0} \sqrt{3 + x^{2}} d (3 + x^{2}) + \int_{0}^{1} (e^{x} - 1) d x

= {\frac{2}{3} (3 + x^{2}) \sqrt{3 + x^{2}} |}_{- 1}^{0} + {(e^{x} - x) |}_{0}^{1} = e + 2 \sqrt{3} - \frac{22}{3}

.
Suy ra

a = 1

,

b = 2

,

c = - \frac{22}{3}

. Vậy tổng

a + b + 3 c = - 19

.

Đáp án C.