Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& {{\text{e}}^{x}}+m\text{ khi }x\ge 0 \\
& 2x\sqrt{3+{{x}^{2}}}\text{ khi }x<0 \\
\end{aligned} \right. $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và $ \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x\text{=}a\text{e}+b\sqrt{3}+c $, $ \left( a,b,c\in Q \right) $. Tổng $ a+b+3c$ bằng
A. $15$.
B. $-10$.
C. $-19$.
D. $-17$.
& {{\text{e}}^{x}}+m\text{ khi }x\ge 0 \\
& 2x\sqrt{3+{{x}^{2}}}\text{ khi }x<0 \\
\end{aligned} \right. $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và $ \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x\text{=}a\text{e}+b\sqrt{3}+c $, $ \left( a,b,c\in Q \right) $. Tổng $ a+b+3c$ bằng
A. $15$.
B. $-10$.
C. $-19$.
D. $-17$.
Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có một véc-tơ pháp tuyến Ta có $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( {{\text{e}}^{x}}+m \right)=m+1$, $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left( 2x\sqrt{3+{{x}^{2}}} \right)=0$ và $f\left( 0 \right)=m+1$.
Vì hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x=0$.
Suy ra $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)$ hay $m+1=0\Leftrightarrow m=-1$.
Khi đó $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x\text{=}\int\limits_{-1}^{0}{2x\sqrt{3+{{x}^{2}}}}\text{d}x+\int\limits_{0}^{1}{\left( {{\text{e}}^{x}}-1 \right)}\text{d}x\text{=}\int\limits_{-1}^{0}{\sqrt{3+{{x}^{2}}}}\text{d}\left( 3+{{x}^{2}} \right)+\int\limits_{0}^{1}{\left( {{\text{e}}^{x}}-1 \right)}\text{d}x$
$\text{=}\left. \dfrac{2}{3}\left( 3+{{x}^{2}} \right)\sqrt{3+{{x}^{2}}} \right|_{-1}^{0}+\left. \left( {{\text{e}}^{x}}-x \right) \right|_{0}^{1}=\text{e}+2\sqrt{3}-\dfrac{22}{3}$.
Suy ra $a=1$, $b=2$, $c=-\dfrac{22}{3}$. Vậy tổng $a+b+3c=-19$.
Vì hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x=0$.
Suy ra $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)$ hay $m+1=0\Leftrightarrow m=-1$.
Khi đó $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x\text{=}\int\limits_{-1}^{0}{2x\sqrt{3+{{x}^{2}}}}\text{d}x+\int\limits_{0}^{1}{\left( {{\text{e}}^{x}}-1 \right)}\text{d}x\text{=}\int\limits_{-1}^{0}{\sqrt{3+{{x}^{2}}}}\text{d}\left( 3+{{x}^{2}} \right)+\int\limits_{0}^{1}{\left( {{\text{e}}^{x}}-1 \right)}\text{d}x$
$\text{=}\left. \dfrac{2}{3}\left( 3+{{x}^{2}} \right)\sqrt{3+{{x}^{2}}} \right|_{-1}^{0}+\left. \left( {{\text{e}}^{x}}-x \right) \right|_{0}^{1}=\text{e}+2\sqrt{3}-\dfrac{22}{3}$.
Suy ra $a=1$, $b=2$, $c=-\dfrac{22}{3}$. Vậy tổng $a+b+3c=-19$.
Đáp án C.