Cho hàm số $f\left(x \right)=\left\{ \begin{aligned} & 2x+1\text{ khi x 3} \\ & ax-3a+7\text{ khi x}\le \text{3} \\ \end{aligned}...

Phương pháp:
- Đổi biến $t={{e}^{x}}+1.$
- Chèn cận 3 vào giữa, chọn hàm $f\left( t \right)$ phù hợp.
- Tính tích phân và tìm $a.$
Cách giải:
Đặt $t={{e}^{x}}+1\Rightarrow dt={{e}^{x}}dx.$
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=2 \\
& x=1\Rightarrow t=e+1 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó ta có
$\int\limits_{0}^{1}{f\left( {{e}^{x}}+1 \right){{e}^{x}}dx}=\int\limits_{2}^{e+1}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{2}^{3}{f\left( t \right)dt}+\int\limits_{3}^{e+1}{f\left( t \right)dt}$
$=\int\limits_{2}^{3}{\left( at-3a+7 \right)dt}+\int\limits_{3}^{e+1}{\left( 2t+1 \right)dt}$
$=\left( a\dfrac{{{t}^{2}}}{2}-3at+7t \right)\left| \begin{aligned}
& 3 \\
& 2 \\
\end{aligned} \right.+\left( {{t}^{2}}+t \right)\left| \begin{aligned}
& e+1 \\
& 3 \\
\end{aligned} \right.$
$=\dfrac{9a}{2}-9a+21-\left( 2a-6a+14 \right)+{{\left( e+1 \right)}^{2}}+\left( e+1 \right)-12$
$=-\dfrac{a}{2}+{{e}^{2}}+3e-3$
$\Rightarrow -\dfrac{a}{2}+{{e}^{2}}+3e-3={{e}^{2}}$
$\Rightarrow \dfrac{a}{2}=-3e+3\Leftrightarrow a=-6e+6$