Cho hàm số $f\left( x \right)=\left( 1-{{m}^{3}}...

Ta có $f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left[ 2;4 \right]$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( 1-{{m}^{3}} \right){{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+\left( 4-m \right)x+2\ge 0,\forall x\in \left[ 2;4 \right] \\
& \Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{m}^{3}}{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x-mx+2\ge 0,\forall x\in \left[ 2;4 \right] \\
& \Leftrightarrow {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x+2\ge {{m}^{3}}{{x}^{3}}+mx,\forall x\in \left[ 2;4 \right] \\
& \Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{3}}+\left( x+1 \right)\ge {{\left( mx \right)}^{3}}+\left( mx \right),\forall x\in \left[ 2;4 \right]\Leftrightarrow f\left( x+1 \right)\ge f\left( mx \right),\forall x\in \left[ 2;4 \right] \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$
Ta có $f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Do đó $f\left( t+1 \right)\ge f\left( mx \right),\forall x\in \left[ 2;4 \right]\Leftrightarrow x+1\ge mx,\forall x\in \left[ 2;4 \right]$
$\Leftrightarrow m\le \dfrac{x+1}{x},\forall x\in \left[ 2;4 \right]\Leftrightarrow m\le \underset{x\in \left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x+1}{x},x\in \left[ 2;4 \right]$. Ta có $f'\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}<0,\forall x\in \left[ 2;4 \right]$
Bảng biến thiên
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy $m\le \underset{x\in \left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)\Leftrightarrow m\le \dfrac{5}{4}$
Vì $m\in \left[ -2019;2019 \right]\Rightarrow m\in \left[ -2019;\dfrac{5}{4} \right]$. Vậy trên đoạn $\left[ -2019;\dfrac{5}{4} \right]$ có 2021 giá trị nguyên của tham số m