Cho hàm số $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số...

Ta có:
$\int f\left(x\right)dx=\int {\displaystyle \frac{2\cos x-1}{{\sin }^{2}x}}dx=2\int {\displaystyle \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}}dx-\int {\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}x}}dx$
$=2\int {\displaystyle \frac{d(\sin x)}{{\sin }^{2}x}}-\int {\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}x}}dx=-{\displaystyle \frac{2}{\sin x}}+\cot x+C$
Do $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\cos x-1}{{\sin }^{2}x}}$ trên khoảng $(0;\pi )$
Nên hàm số $F\left(x\right)$ có công thức dạng $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{\sin x}}+\cot x+C$ với mọi $x\in (0;\pi )$.
Xét hàm số $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{\sin x}}+\cot x+C$ xác định và liên tục trên $(0;\pi )$.
$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\cos x-1}{{\sin }^{2}x}}$
Xét $F^{\prime }\left(x\right)=0\iff {\displaystyle \frac{2\cos x-1}{{\sin }^{2}x}}=0\iff \cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}\iff x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k2\pi$ $(k\in Z)$
Trên khoảng $(0;\pi )$, phương trình $F^{\prime }\left(x\right)=0$ có một nghiệm $x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.
Bảng biến thiên.

$\underset{(0;\pi )}{max}F\left(x\right)=F\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=-\sqrt{3}+C$
Theo đề bài ta có, $-\sqrt{3}+C=\sqrt{3}\iff C=2\sqrt{3}$
Do đó, $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{\sin x}}+\cot x+2\sqrt{3}$
Khi đó, $F\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=3\sqrt{3}-4$