Google
Câu hỏi: Cho hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{2\cos x-1}{{{\sin }^{2}}x}$ trên khoảng $\left( 0; \pi \right)$. Biết rằng giá trị lớn nhất của $F\left( x \right)$ trên khoảng $\left( 0; \pi \right)$ là $\sqrt{3}$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. $F\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=3\sqrt{3}-4$
B. $F\left( \dfrac{2\pi }{3} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C. $F\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=-\sqrt{3}$
D. $F\left( \dfrac{5\pi }{6} \right)=3-\sqrt{3}$
A. $F\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=3\sqrt{3}-4$
B. $F\left( \dfrac{2\pi }{3} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C. $F\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=-\sqrt{3}$
D. $F\left( \dfrac{5\pi }{6} \right)=3-\sqrt{3}$
Ta có:
$\int{f\left( x \right)dx}=\int{\dfrac{2\cos x-1}{{{\sin }^{2}}x}dx=2\int{\dfrac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}dx-\int{\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx}}}$
$=2\int{\dfrac{d\left( \sin x \right)}{{{\sin }^{2}}x}-}\int{\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx}=-\dfrac{2}{\sin x}+\cot x+C$
Do $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{2\cos x-1}{{{\sin }^{2}}x}$ trên khoảng $\left( 0; \pi \right)$
Nên hàm số $F\left( x \right)$ có công thức dạng $F\left( x \right)=-\dfrac{2}{\sin x}+\cot x+C$ với mọi $x\in \left( 0; \pi \right)$.
Xét hàm số $F\left( x \right)=-\dfrac{2}{\sin x}+\cot x+C$ xác định và liên tục trên $\left( 0; \pi \right)$.
${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)=\dfrac{2\cos x-1}{{{\sin }^{2}}x}$
Xét ${F}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{2\cos x-1}{{{\sin }^{2}}x}=0\Leftrightarrow \cos x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi $ $\left( k\in Z \right)$
Trên khoảng $\left( 0; \pi \right)$, phương trình ${F}'\left( x \right)=0$ có một nghiệm $x=\dfrac{\pi }{3}$.
Bảng biến thiên.
$\underset{\left( 0; \pi \right)}{\mathop{\max }} F\left( x \right)=F\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=-\sqrt{3}+C$
Theo đề bài ta có, $-\sqrt{3}+C=\sqrt{3}\Leftrightarrow C=2\sqrt{3}$
Do đó, $F\left( x \right)=-\dfrac{2}{\sin x}+\cot x+2\sqrt{3}$
Khi đó, $F\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=3\sqrt{3}-4$
$\int{f\left( x \right)dx}=\int{\dfrac{2\cos x-1}{{{\sin }^{2}}x}dx=2\int{\dfrac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}dx-\int{\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx}}}$
$=2\int{\dfrac{d\left( \sin x \right)}{{{\sin }^{2}}x}-}\int{\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx}=-\dfrac{2}{\sin x}+\cot x+C$
Do $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{2\cos x-1}{{{\sin }^{2}}x}$ trên khoảng $\left( 0; \pi \right)$
Nên hàm số $F\left( x \right)$ có công thức dạng $F\left( x \right)=-\dfrac{2}{\sin x}+\cot x+C$ với mọi $x\in \left( 0; \pi \right)$.
Xét hàm số $F\left( x \right)=-\dfrac{2}{\sin x}+\cot x+C$ xác định và liên tục trên $\left( 0; \pi \right)$.
${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)=\dfrac{2\cos x-1}{{{\sin }^{2}}x}$
Xét ${F}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{2\cos x-1}{{{\sin }^{2}}x}=0\Leftrightarrow \cos x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi $ $\left( k\in Z \right)$
Trên khoảng $\left( 0; \pi \right)$, phương trình ${F}'\left( x \right)=0$ có một nghiệm $x=\dfrac{\pi }{3}$.
Bảng biến thiên.
$\underset{\left( 0; \pi \right)}{\mathop{\max }} F\left( x \right)=F\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=-\sqrt{3}+C$
Theo đề bài ta có, $-\sqrt{3}+C=\sqrt{3}\Leftrightarrow C=2\sqrt{3}$
Do đó, $F\left( x \right)=-\dfrac{2}{\sin x}+\cot x+2\sqrt{3}$
Khi đó, $F\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=3\sqrt{3}-4$
Đáp án A.