Cho hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số đa thức bậc bốn. Biết...

Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị $x=0$ và $x=2$ nên có dạng ${f}'\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$.
Lần lượt thay thế các dữ kiện từ hình vẽ, ta được $\left\{ \begin{aligned}
& d=2 \\
& c=0 \\
& 3\cdot a\cdot {{2}^{2}}+2\cdot b\cdot 2=0 \\
& -{{a}^{3}}+b+d=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-3 \\
& c=0 \\
& d=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra ${f}'\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+2x+C$.
Mà $f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+2x$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=1-\sqrt{3} \\
& x=1+\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra bảng biến thiên
Từ đó ta có bảng biến thiên của $f\left( x-1 \right)$
Vì $-1\le \sin x\le 1,\forall x\in \left[ 0;3\pi \right]$ nên $0\le \left| 2\sin x-1 \right|\le 3$.
Đặt $t=\left| 2\sin x-1 \right|$, $t\in \left[ 0;3 \right]$
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình $f\left( t-1 \right)=m$ có tối đa $2$ nghiệm $t=h$, $t=k$.
Do đó $\left[ \begin{aligned}
& 2\sin x-1=\pm h \\
& 2\sin x-1=\pm k \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sin x=\dfrac{\pm h+1}{2} \\
& \sin x=\dfrac{\pm k+1}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Trên $\left[ 0;3\pi \right]$, mỗi phương trình có nhiều nhất $4$ nghiệm, do đó phương trình đã cho có nhiều nhất $16$ nghiệm.