Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ là bậc bốn có đồ thị như hình vẽ sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left( -25;20 \right)$ để hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{f}^{3}}\left( x \right)+\dfrac{1}{2}m.{{f}^{2}}\left( x \right)+\left( 3m-5 \right)f\left( x \right)-7$ đồng biến trên khoảng $\left( -2;0 \right)?$
A. $18$.
B. $17$.
C. $20$.
D. $19$.
A. $18$.
B. $17$.
C. $20$.
D. $19$.
Xét $g\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{f}^{3}}\left( x \right)+\dfrac{1}{2}m.{{f}^{2}}\left( x \right)+\left( 3m-5 \right)f\left( x \right)-7$.
$\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( x \right).{{f}^{2}}\left( x \right)+mf'\left( x \right).f\left( x \right)+\left( 3m-5 \right)f'\left( x \right)=f'\left( x \right)\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)+mf\left( x \right)+3m-5 \right]$.
Vì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -2;0 \right)\Rightarrow f'\left( x \right)>0\forall x\in \left( -2;0 \right)$.
$\Rightarrow g'\left( x \right)\ge 0\text{ }\forall x\in \left( -2;0 \right)\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)+mf\left( x \right)+3m-5\ge 0\text{ }\forall x\in \left( -2;0 \right)$.
$\Leftrightarrow m\ge \dfrac{5-{{f}^{2}}\left( x \right)}{f\left( x \right)+3}=h\left( x \right)$ Vì $f\left( x \right)+3>0\forall x\in \left( -2;0 \right)$.
Đặt $t=f\left( x \right)$ vì $x\in \left( -2;0 \right)\Rightarrow t\in \left( -\dfrac{2}{3};2 \right)$.
$\Rightarrow h\left( t \right)=\dfrac{5-{{t}^{2}}}{t+3}\forall t\in \left( -\dfrac{2}{3};2 \right)$ $\Rightarrow h'\left( t \right)=\dfrac{-{{t}^{2}}-6t-5}{{{\left( t+3 \right)}^{2}}}<0\forall t\in \left( -\dfrac{2}{3};2 \right)$.
$\Rightarrow m\ge h\left( -\dfrac{2}{3} \right)=\dfrac{41}{21}\approx 1,95\Rightarrow $ có 18 giá trị của m.
$\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( x \right).{{f}^{2}}\left( x \right)+mf'\left( x \right).f\left( x \right)+\left( 3m-5 \right)f'\left( x \right)=f'\left( x \right)\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)+mf\left( x \right)+3m-5 \right]$.
Vì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -2;0 \right)\Rightarrow f'\left( x \right)>0\forall x\in \left( -2;0 \right)$.
$\Rightarrow g'\left( x \right)\ge 0\text{ }\forall x\in \left( -2;0 \right)\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)+mf\left( x \right)+3m-5\ge 0\text{ }\forall x\in \left( -2;0 \right)$.
$\Leftrightarrow m\ge \dfrac{5-{{f}^{2}}\left( x \right)}{f\left( x \right)+3}=h\left( x \right)$ Vì $f\left( x \right)+3>0\forall x\in \left( -2;0 \right)$.
Đặt $t=f\left( x \right)$ vì $x\in \left( -2;0 \right)\Rightarrow t\in \left( -\dfrac{2}{3};2 \right)$.
$\Rightarrow h\left( t \right)=\dfrac{5-{{t}^{2}}}{t+3}\forall t\in \left( -\dfrac{2}{3};2 \right)$ $\Rightarrow h'\left( t \right)=\dfrac{-{{t}^{2}}-6t-5}{{{\left( t+3 \right)}^{2}}}<0\forall t\in \left( -\dfrac{2}{3};2 \right)$.
$\Rightarrow m\ge h\left( -\dfrac{2}{3} \right)=\dfrac{41}{21}\approx 1,95\Rightarrow $ có 18 giá trị của m.
Đáp án A.
