Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ hàm số $y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm m để bất phương trình $x.f\left( x \right)>m.x-3$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 1;3 \right)$
A. $m<f\left( 1 \right)+3$.
B. $m\le f\left( 1 \right)+3$.
C. $m<f\left( 3 \right)+1$.
D. $m\le f\left( 3 \right)+1$.
Tìm m để bất phương trình $x.f\left( x \right)>m.x-3$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 1;3 \right)$
A. $m<f\left( 1 \right)+3$.
B. $m\le f\left( 1 \right)+3$.
C. $m<f\left( 3 \right)+1$.
D. $m\le f\left( 3 \right)+1$.
Ta có: $x.f\left( x \right)>m.x-3\Leftrightarrow xf\left( x \right)+3>mx\Leftrightarrow f\left( x \right)+\dfrac{3}{x}>m$ (với $x\in \left( 1;3 \right)$ )
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{3}{x}$ với $x\in \left( 1;3 \right)$ thì ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\dfrac{3}{{{x}^{2}}}<0$ $\forall x\in \left( 1;3 \right)$
Ta có bảng biến thiên
Do đó $g\left( x \right)>m\left( \forall x\in \left( 1;3 \right) \right)\Leftrightarrow m\le g\left( 3 \right)=f\left( 3 \right)+1$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{3}{x}$ với $x\in \left( 1;3 \right)$ thì ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\dfrac{3}{{{x}^{2}}}<0$ $\forall x\in \left( 1;3 \right)$
Ta có bảng biến thiên
Do đó $g\left( x \right)>m\left( \forall x\in \left( 1;3 \right) \right)\Leftrightarrow m\le g\left( 3 \right)=f\left( 3 \right)+1$
Đáp án D.