Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$, hàm số $y=f'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình $f\left( x \right)>2x+m$ (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -1;2 \right)$ khi và chỉ khi:
A. $m<f\left( 2 \right)-4.$
B. $m\le f\left( 2 \right)-4.$
C. $m\le f\left( -1 \right)+2.$
D. $m<f\left( -1 \right)+2.$
A. $m<f\left( 2 \right)-4.$
B. $m\le f\left( 2 \right)-4.$
C. $m\le f\left( -1 \right)+2.$
D. $m<f\left( -1 \right)+2.$
Ta có: $f\left( x \right)>2x+m,\forall x\in \left( -1;2 \right)\Leftrightarrow m<f\left( x \right)-2x,\forall x\in \left( -1;2 \right)\left( * \right)$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ ta có với $x\in \left( -1;2 \right)$ thì $f'\left( x \right)>2$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-2x$ trên khoảng $\left( -1;2 \right)$.
$g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-2>0,\forall x\in \left( -1;2 \right)$.
Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;2 \right)$.
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow m\le g\left( -1 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( -1 \right)+2$.
Nhận xét:
Với dạng toán này hướng đi bài toán là cô lập m, khi đó bài toán có thể chuyển sang dạng $m\ge \max g\left( x \right)$ hoặc $m\le \min g\left( x \right)$
Từ đó xét hàm số $g\left( x \right)$ và tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất (tùy vào bài).
Chú ý: Với dạng toán này học sinh rất dễ nhầm ở yêu cầu nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -1;2 \right)$ hoặc có nghiệm với $x\in \left( -1;2 \right)$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ ta có với $x\in \left( -1;2 \right)$ thì $f'\left( x \right)>2$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-2x$ trên khoảng $\left( -1;2 \right)$.
$g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-2>0,\forall x\in \left( -1;2 \right)$.
Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;2 \right)$.
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow m\le g\left( -1 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( -1 \right)+2$.
Nhận xét:
Với dạng toán này hướng đi bài toán là cô lập m, khi đó bài toán có thể chuyển sang dạng $m\ge \max g\left( x \right)$ hoặc $m\le \min g\left( x \right)$
Từ đó xét hàm số $g\left( x \right)$ và tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất (tùy vào bài).
Chú ý: Với dạng toán này học sinh rất dễ nhầm ở yêu cầu nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -1;2 \right)$ hoặc có nghiệm với $x\in \left( -1;2 \right)$.
Đáp án C.