Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f\left( \sqrt{x+6}+\sqrt{12-x} \right)=f\left( {{m}^{2}}+2m+2 \right)$ có nghiệm?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Mà $\sqrt{x+6}+\sqrt{12-x}>0$ và ${{m}^{2}}+2m+2={{\left( m+1 \right)}^{2}}+1>0.$
Nên $f\left( \sqrt{x+6}+\sqrt{12-x} \right)=f\left( {{m}^{2}}+2m+2 \right)\Leftrightarrow \sqrt{x+6}+\sqrt{12-x}={{m}^{2}}+2m+2.$
Ta có
${{\left( \sqrt{x+6}+\sqrt{12-x} \right)}^{2}}=18+2\sqrt{\left( x+6 \right)\left( 12-x \right)}\ge 18\Rightarrow \sqrt{x+6}+\sqrt{12-x}\ge 3\sqrt{2}.$
Lại có $\sqrt{x+6}+\sqrt{12-x}\le \sqrt{2\left( x+6+12-x \right)}=6\Rightarrow 3\sqrt{2}\le {{m}^{2}}+2m+2\le 6$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{m}^{2}}+2m+2=5 \\
{{m}^{2}}+2m+2=6 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m-1 \\
m=3 \\
\end{array} \right.$ thỏa mãn.
Mà $\sqrt{x+6}+\sqrt{12-x}>0$ và ${{m}^{2}}+2m+2={{\left( m+1 \right)}^{2}}+1>0.$
Nên $f\left( \sqrt{x+6}+\sqrt{12-x} \right)=f\left( {{m}^{2}}+2m+2 \right)\Leftrightarrow \sqrt{x+6}+\sqrt{12-x}={{m}^{2}}+2m+2.$
Ta có
${{\left( \sqrt{x+6}+\sqrt{12-x} \right)}^{2}}=18+2\sqrt{\left( x+6 \right)\left( 12-x \right)}\ge 18\Rightarrow \sqrt{x+6}+\sqrt{12-x}\ge 3\sqrt{2}.$
Lại có $\sqrt{x+6}+\sqrt{12-x}\le \sqrt{2\left( x+6+12-x \right)}=6\Rightarrow 3\sqrt{2}\le {{m}^{2}}+2m+2\le 6$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{m}^{2}}+2m+2=5 \\
{{m}^{2}}+2m+2=6 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m-1 \\
m=3 \\
\end{array} \right.$ thỏa mãn.
Đáp án B.