Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$, hàm số ${f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.
Bất phương trình $f\left( x \right)>x+m$ (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0; 2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\le f\left( 2 \right)-2$
B. $m<f\left( 2 \right)-2$
C. $m\le f\left( 0 \right)$
D. $m<f\left( 0 \right)$
Bất phương trình $f\left( x \right)>x+m$ (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0; 2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\le f\left( 2 \right)-2$
B. $m<f\left( 2 \right)-2$
C. $m\le f\left( 0 \right)$
D. $m<f\left( 0 \right)$
Ta có: $f\left( x \right)>x+m\Leftrightarrow m<f\left( x \right)-x=g\left( x \right)$
Bất phương trình trở thành: $m<f\left( x \right)-x=g\left( x \right)$
Xét $g\left( x \right)=f\left( x \right)-x$ với $x\in \left( 0; 2 \right)$ ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-1<0 \left( \forall x\in \left( 0; 2 \right) \right)$
Do đó hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0; 2 \right)$
Do đó $m<f\left( x \right)-x=g\left( x \right)$ với mọi $x\in \left( 0; 2 \right)$ khi và chỉ khi $m\le g\left( 2 \right)=f\left( 2 \right)-2$.
Bất phương trình trở thành: $m<f\left( x \right)-x=g\left( x \right)$
Xét $g\left( x \right)=f\left( x \right)-x$ với $x\in \left( 0; 2 \right)$ ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-1<0 \left( \forall x\in \left( 0; 2 \right) \right)$
Do đó hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0; 2 \right)$
Do đó $m<f\left( x \right)-x=g\left( x \right)$ với mọi $x\in \left( 0; 2 \right)$ khi và chỉ khi $m\le g\left( 2 \right)=f\left( 2 \right)-2$.
Đáp án A.