Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x-2m}{x+1}$. Gọi $S$ là tập...

Đặt $t=7\sin x$. Khi đó: $x\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;7 \right]$. Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \underset{\left[ 0;7 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( t \right) \right|=0$
Ta có: $f\left( t \right)=\dfrac{t-2m}{t+1}$ luôn xác định trên $\left[ 0;7 \right]$
Với $m=-\dfrac{1}{2}$ thì $f\left( t \right)=1$ $\Rightarrow $ Loại $m=-\dfrac{1}{2}$
Với $m\ne -\dfrac{1}{2}$ thì ta có: $f\left( 0 \right)=-2m; f\left( 7 \right)=\dfrac{7-2m}{8}$. Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $f\left( 0 \right).f\left( 7 \right)\le 0\Leftrightarrow -2m.\dfrac{7-2m}{8}\le 0\Leftrightarrow 0\le m\le \dfrac{7}{2}$
Khi đó: $\underset{\left[ 0;7 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( t \right) \right|=0$ $\Rightarrow 0\le m\le \dfrac{7}{2}$ thỏa yêu cầu bài toán $\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 0;1;2;3 \right\}$
Trường hợp 2: $f\left( 0 \right).f\left( 7 \right)>0\Leftrightarrow -2m.\dfrac{7-2m}{8}>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>\dfrac{7}{2} \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: $\underset{\left[ 0;7 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( t \right) \right|>0$ $\Rightarrow $ Không có giá trị $m$ thỏa đề bài.
Do đó: $S=\left\{ 0;1;2;3 \right\}$. Vậy tổng các phần tử của $S$ bằng $6$.