Cho hàm số $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x-2m}{x+1}}$. Gọi $S$ là tập...

Đặt $t=7\sin x$. Khi đó: $x\in [0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]\Rightarrow t\in [0;7]$. Yêu cầu bài toán $\iff \underset{[0;7]}{min}\left|f\left(t\right)\right|=0$
Ta có: $f\left(t\right)={\displaystyle \frac{t-2m}{t+1}}$ luôn xác định trên $[0;7]$
Với $m=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ thì $f\left(t\right)=1$ $\Rightarrow$ Loại $m=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
Với $m\ne -{\displaystyle \frac{1}{2}}$ thì ta có: $f\left(0\right)=-2m;f\left(7\right)={\displaystyle \frac{7-2m}{8}}$. Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $f\left(0\right).f\left(7\right)\le 0\iff -2m.{\displaystyle \frac{7-2m}{8}}\le 0\iff 0\le m\le {\displaystyle \frac{7}{2}}$
Khi đó: $\underset{[0;7]}{min}\left|f\left(t\right)\right|=0$ $\Rightarrow 0\le m\le {\displaystyle \frac{7}{2}}$ thỏa yêu cầu bài toán $\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m\in \{0;1;2;3\}$
Trường hợp 2: $f\left(0\right).f\left(7\right)>0\iff -2m.{\displaystyle \frac{7-2m}{8}}>0\iff [\begin{array}{rl}& m>{\displaystyle \frac{7}{2}}\\ & m<0\end{array}$
Khi đó: $\underset{[0;7]}{min}\left|f\left(t\right)\right|>0$ $\Rightarrow$ Không có giá trị $m$ thỏa đề bài.
Do đó: $S=\{0;1;2;3\}$. Vậy tổng các phần tử của $S$ bằng $6$.