Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{ax+b}{{{x}^{2}}+4}$, với a, b là tham số. Nếu $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( -1 \right)=-1$ thì $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }} f\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{11}{20}\cdot $
B. $\dfrac{5}{12}\cdot $
C. $\dfrac{3}{4}\cdot $
D. $\dfrac{1}{4}\cdot $
A. $\dfrac{11}{20}\cdot $
B. $\dfrac{5}{12}\cdot $
C. $\dfrac{3}{4}\cdot $
D. $\dfrac{1}{4}\cdot $
Từ đề bài ta phải có $a\ne 0$. Mặc khác $f\left( -1 \right)=-1\Rightarrow -a+b=-5,\left( 1 \right)$
${f}'\left( x \right)=\dfrac{-a{{x}^{2}}-2bx+4a}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}$.
Phương trình $-a{{x}^{2}}-2bx+4a=0,({\Delta }'={{b}^{2}}+4{{a}^{2}}>0)$ luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vì $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( -1 \right)$ nên $-a{{\left( -1 \right)}^{2}}-2b.\left( -1 \right)+4a=0\Leftrightarrow 3a+2b=0$,(2)
Từ (1) và (2) suy ra $a=2,b=-3.$ Do đó $f\left( x \right)=\dfrac{2x-3}{{{x}^{2}}+4},{f}'\left( x \right)=\dfrac{-2{{x}^{2}}+6x+8}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}$.
Vậy $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}\cdot $
${f}'\left( x \right)=\dfrac{-a{{x}^{2}}-2bx+4a}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}$.
Phương trình $-a{{x}^{2}}-2bx+4a=0,({\Delta }'={{b}^{2}}+4{{a}^{2}}>0)$ luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vì $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( -1 \right)$ nên $-a{{\left( -1 \right)}^{2}}-2b.\left( -1 \right)+4a=0\Leftrightarrow 3a+2b=0$,(2)
Từ (1) và (2) suy ra $a=2,b=-3.$ Do đó $f\left( x \right)=\dfrac{2x-3}{{{x}^{2}}+4},{f}'\left( x \right)=\dfrac{-2{{x}^{2}}+6x+8}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}$.
Vậy $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}\cdot $
Đáp án D.