Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{ax-1}{bx+c}\left( a,b,c\in \mathbb{R} \right)$ có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây đúng?

Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=3$ và tiệm cận ngang là $y=\dfrac{1}{2}.$
Do đó: $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{2} \\
& -\dfrac{c}{b}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2}b \\
& c=-3b \\
\end{aligned} \right.$
Mặt khác $f'\left( x \right)=\dfrac{ac+b}{{{\left( bx+c \right)}^{2}}}<0\Rightarrow ac+b<0\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}b\left( -3b \right)+b<0$
$\Leftrightarrow -\dfrac{3}{2}{{b}^{2}}+b<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b>\dfrac{2}{3} \\
& b<0 \\
\end{aligned} \right..$