Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${f\left( x \right) = \dfrac{{2x + m - 3}}{{x + 2}}}$. Gọi ${A , a}$ lần lượt là ${GTLN , GTNN}$ của hàm số ${f\left( x \right)}$ trên ${\left[ {3;10} \right]}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của ${m}$ để ${5 \le A + a \le 20}$.
A. ${51}$.
B. ${52}$.
C. ${53}$.
D. ${54}$.
A. ${51}$.
B. ${52}$.
C. ${53}$.
D. ${54}$.
Hàm số có TXĐ $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}.$ Ta có $y'=\dfrac{7-m}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số đơn điệu trên $\left( 3;10 \right)$ với mọi $m\ne 7$
$\Rightarrow \underset{\left[ 3;10 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)+\underset{\left[ 3;10 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 3 \right)+f\left( 10 \right)=\dfrac{m+3}{5}+\dfrac{m+17}{12}$
Khi đó $5\le A+a\le 20\Leftrightarrow 5\le \dfrac{m+3}{5}+\dfrac{m+17}{12}\le 20\Leftrightarrow 5\le \dfrac{17m+121}{60}\le 20$
$\Leftrightarrow 5\le \dfrac{17m+121}{60}\le 20\Leftrightarrow \dfrac{179}{17}\le m\le \dfrac{1079}{17}$
Vì $m\in Z$ nên $m\in \left\{ 11,12,...,63 \right\}$ suy ra có 53 giá trị nguyên của m thỏa để bài.
Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số đơn điệu trên $\left( 3;10 \right)$ với mọi $m\ne 7$
$\Rightarrow \underset{\left[ 3;10 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)+\underset{\left[ 3;10 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 3 \right)+f\left( 10 \right)=\dfrac{m+3}{5}+\dfrac{m+17}{12}$
Khi đó $5\le A+a\le 20\Leftrightarrow 5\le \dfrac{m+3}{5}+\dfrac{m+17}{12}\le 20\Leftrightarrow 5\le \dfrac{17m+121}{60}\le 20$
$\Leftrightarrow 5\le \dfrac{17m+121}{60}\le 20\Leftrightarrow \dfrac{179}{17}\le m\le \dfrac{1079}{17}$
Vì $m\in Z$ nên $m\in \left\{ 11,12,...,63 \right\}$ suy ra có 53 giá trị nguyên của m thỏa để bài.
Đáp án C.