Cho hàm số $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\text{x}-m}{x+2}}$ (m là tham...

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{4+m}{{(x+2)}^2}}$
- Nếu $m=-4$ thì $f\left(x\right)=2$ thỏa mãn $\underset{[0;2]}{max}\left|f\left(x\right)\right|+2\underset{[0;2]}{min}\left|f\left(x\right)\right|\ge 4$.
- Xét $m\ne -4$. Ta có $f\left(0\right)=-{\displaystyle \frac{m}{2}};f\left(2\right)={\displaystyle \frac{4-m}{4}}$.
+ TH1: ${\displaystyle \frac{-m}{2}}\left({\displaystyle \frac{4-m}{4}}\right)\le 0\iff 0\le m\le 4$.
Khi đó $\underset{[0;2]}{min}\left|f\left(x\right)\right|=0$ và $\underset{[0;2]}{max}\left|f\left(x\right)\right|={\displaystyle \frac{4-m}{4}}$ hoặc $\underset{[0;2]}{max}\left|f\left(x\right)\right|={\displaystyle \frac{m}{2}}$.
Theo giả thiết ta phải có $[\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{4-m}{4}}\ge 4\\ & {\displaystyle \frac{m}{2}}\ge 4\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& m\le -12\\ & m\ge 8\end{array}$ (loại).
+ TH2: Xét $-4<m<0$ : hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến, hơn nữa $f\left(0\right)=-{\displaystyle \frac{m}{2}}>0;f\left(2\right)={\displaystyle \frac{4-m}{4}}>0$ nên
$\underset{[0;2]}{max}\left|f\left(x\right)\right|+2\underset{[0;2]}{min}\left|f\left(x\right)\right|\ge 4\iff {\displaystyle \frac{4-m}{4}}+2\left({\displaystyle \frac{-m}{2}}\right)\ge 4\iff m\le -{\displaystyle \frac{12}{5}}$.
Vậy $-4<m\le -{\displaystyle \frac{12}{5}}\Rightarrow m=-3$.
Xét $m<-4$ : hàm số $f\left(x\right)$ nghịch biến, hơn nữa $f\left(0\right)=-{\displaystyle \frac{m}{2}}>0;f\left(2\right)={\displaystyle \frac{4-m}{4}}>0$ nên
$\underset{[0;2]}{max}\left|f\left(x\right)\right|+2\underset{[0;2]}{min}\left|f\left(x\right)\right|\ge 4\iff -{\displaystyle \frac{m}{2}}+2\left({\displaystyle \frac{4-m}{4}}\right)\ge 4\iff m\le -2$. Vậy $m<-4$.
Tóm lại: $m\in (-\mathrm{\infty };{\displaystyle \frac{-12}{5}}]\cup [6;+\mathrm{\infty })$. Nên trong $[-30;30]$, tập S có 53 số nguyên.