Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{2\text{x}-m}{x+2}$ (m là tham...

Ta có: ${f}'\left( x \right)=\dfrac{4+m}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
- Nếu $m=-4$ thì $f\left( x \right)=2$ thỏa mãn $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|+2\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|\ge 4$.
- Xét $m\ne -4$. Ta có $f\left( 0 \right)=-\dfrac{m}{2};f\left( 2 \right)=\dfrac{4-m}{4}$.
+ TH1: $\dfrac{-m}{2}\left( \dfrac{4-m}{4} \right)\le 0\Leftrightarrow 0\le m\le 4$.
Khi đó $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=0$ và $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=\dfrac{4-m}{4}$ hoặc $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|=\dfrac{m}{2}$.
Theo giả thiết ta phải có $\left[ \begin{aligned}
& \dfrac{4-m}{4}\ge 4 \\
& \dfrac{m}{2}\ge 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -12 \\
& m\ge 8 \\
\end{aligned} \right.$ (loại).
+ TH2: Xét $-4<m<0$ : hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến, hơn nữa $f\left( 0 \right)=-\dfrac{m}{2}>0;f\left( 2 \right)=\dfrac{4-m}{4}>0$ nên
$\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|+2\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|\ge 4\Leftrightarrow \dfrac{4-m}{4}+2\left( \dfrac{-m}{2} \right)\ge 4\Leftrightarrow m\le -\dfrac{12}{5}$.
Vậy $-4<m\le -\dfrac{12}{5}\Rightarrow m=-3$.
Xét $m<-4$ : hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến, hơn nữa $f\left( 0 \right)=-\dfrac{m}{2}>0;f\left( 2 \right)=\dfrac{4-m}{4}>0$ nên
$\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( x \right) \right|+2\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|\ge 4\Leftrightarrow -\dfrac{m}{2}+2\left( \dfrac{4-m}{4} \right)\ge 4\Leftrightarrow m\le -2$. Vậy $m<-4$.
Tóm lại: $m\in \left( -\infty ;\dfrac{-12}{5} \right]\cup \left[ 6;+\infty \right)$. Nên trong $\left[ -30;30 \right]$, tập S có 53 số nguyên.