Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có hàm liên tục trên $\left[ 0;\pi \right]$. Biết $f\left( 0 \right)=2e$ và $f\left( x \right)$ luôn thỏa mãn đẳng thức ${f}'\left( x \right)+\sin x.f\left( x \right)=\cos x.{{e}^{\cos x}}, \forall x\in \left[ 0;\pi \right]$. Tính $I=\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( x \right)dx}$ (làm tròn đến phần trăm).
A. $I\approx 6,55$
B. $I\approx 17,30$
C. $I\approx 10,31$
D. $I\approx 16,91$
A. $I\approx 6,55$
B. $I\approx 17,30$
C. $I\approx 10,31$
D. $I\approx 16,91$
Theo giả thiết ta có: ${f}'\left( x \right){{e}^{-\cos x}}+\sin x.f\left( x \right){{e}^{-\cos x}}=\cos x, \forall x\in \left[ 0;\pi \right]$
$\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right).{{e}^{-\cos x}} \right]}^{\prime }}=\cos x \left( \forall x\in \left[ 0;\pi \right] \right)$.
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $f\left( x \right).{{e}^{-\cos x}}=\sin x+C$
Mặt khác $f\left( 0 \right)=2e\Rightarrow 2e.{{e}^{-\cos 0}}=C\Rightarrow C=2\Rightarrow f\left( x \right)={{e}^{\cos x}}\left( \sin x+2 \right)$
Suy ra $I=\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{\pi }{{{e}^{\cos x}}\left( \sin x+2 \right)dx}\approx 10,31$.
$\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right).{{e}^{-\cos x}} \right]}^{\prime }}=\cos x \left( \forall x\in \left[ 0;\pi \right] \right)$.
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $f\left( x \right).{{e}^{-\cos x}}=\sin x+C$
Mặt khác $f\left( 0 \right)=2e\Rightarrow 2e.{{e}^{-\cos 0}}=C\Rightarrow C=2\Rightarrow f\left( x \right)={{e}^{\cos x}}\left( \sin x+2 \right)$
Suy ra $I=\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{\pi }{{{e}^{\cos x}}\left( \sin x+2 \right)dx}\approx 10,31$.
Đáp án C.