Cho hàm số $f (x)$ có ${f}'\left( x \right)=\left( x+4...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

có

f^{'} (x) = (x + 4) \sqrt{x + 1}

với mọi

x > - 1

và

f (0) = 2.

Tích phân

\int_{0}^{3} f (x) d x

bằng
A.

\frac{1234}{35} .

B.

\frac{1334}{35} .

C.

\frac{267}{7} .

D.

\frac{162}{5} .

Xét

I = \int (x + 4) \sqrt{x + 1} d x,

đặt

t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x + 1 \Rightarrow 2 t d t = d x .

Khi đó:

I = \int (t^{2} + 3) t 2 t d x = \int (2 t^{4} + 6 t^{2}) d x = \frac{2 t^{5}}{5} + 2 t^{3} + C = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C

Suy ra

f (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C .

Thay

x = 0 :

f (0) = \frac{2}{5} + 2 + C \Rightarrow C = - \frac{2}{5} .

Do đó

f (x) = \frac{2}{5} {(x +)}^{\frac{5}{2}} + 2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} .

Khi đó

\int_{0}^{3} (\frac{2}{5} {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} + 2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5}) d x = (\frac{4}{35} {(x + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{4}{5} {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} x) |_{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}^{\begin{matrix} 3 \end{matrix}} =

Đáp án B.

Cho hàm số f(x) có ${f}'\left( x \right)=\left( x+4...