Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có $f\left( 0 \right)=0$. Biết $y={f}'\left( x \right)$ là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình dưới.
Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{3}} \right)+x \right|$ là
A. 4.
B. 5.
C. 3.
D. 6.
Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{3}} \right)+x \right|$ là
A. 4.
B. 5.
C. 3.
D. 6.
Đặt $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}} \right)+x$
Ta có: ${h}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}{f}'\left( {{x}^{3}} \right)+1$ ; ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{3}} \right)=-\dfrac{1}{3{{x}^{2}}}$.
Đặt $t={{x}^{3}}\Rightarrow x=\sqrt[3]{t}$ thế vào phương trình trên ta được ${f}'\left( t \right)=-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{t}^{2}}}}$
Xét hàm số $k\left( t \right)=-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{t}^{2}}}}$, ta có: ${k}'\left( t \right)=\dfrac{2}{9\sqrt[3]{{{t}^{5}}}}$
Từ bảng biến thiên, ta suy ra phương trình ${f}'\left( t \right)=-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{t}^{2}}}}$ có hai nghiệm trái dấu ${{t}_{1}}$ và ${{t}_{2}}$, giả sử ${{t}_{1}}<0$ và ${{t}_{2}}>0$. Khi đó phương trình ${h}'\left( x \right)=0$ có hai nghiệm trái dấu là ${{x}_{1}}=\sqrt[3]{{{t}_{1}}}<0,{{x}_{2}}=\sqrt[3]{{{t}_{2}}}>0$.
Với $x=0\Rightarrow h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)+0=0$
Như vậy, ta có bảng biến thiên sau:
Vậy $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị.
Ta có: ${h}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}{f}'\left( {{x}^{3}} \right)+1$ ; ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{3}} \right)=-\dfrac{1}{3{{x}^{2}}}$.
Đặt $t={{x}^{3}}\Rightarrow x=\sqrt[3]{t}$ thế vào phương trình trên ta được ${f}'\left( t \right)=-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{t}^{2}}}}$
Xét hàm số $k\left( t \right)=-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{t}^{2}}}}$, ta có: ${k}'\left( t \right)=\dfrac{2}{9\sqrt[3]{{{t}^{5}}}}$
Từ bảng biến thiên, ta suy ra phương trình ${f}'\left( t \right)=-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{t}^{2}}}}$ có hai nghiệm trái dấu ${{t}_{1}}$ và ${{t}_{2}}$, giả sử ${{t}_{1}}<0$ và ${{t}_{2}}>0$. Khi đó phương trình ${h}'\left( x \right)=0$ có hai nghiệm trái dấu là ${{x}_{1}}=\sqrt[3]{{{t}_{1}}}<0,{{x}_{2}}=\sqrt[3]{{{t}_{2}}}>0$.
Với $x=0\Rightarrow h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)+0=0$
Như vậy, ta có bảng biến thiên sau:
Vậy $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị.
Đáp án B.