Google
Câu hỏi: Cho hàm số $F\left( x \right)$ có $F\left( 0 \right)=0.$ Biết $y=F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số $G\left( x \right)=\left| F\left( {{x}^{6}} \right)-{{x}^{3}} \right|$ là
A. 4.
B. 5.
C. 6.
D. 3.
A. 4.
B. 5.
C. 6.
D. 3.
Xét hàm số $H\left( x \right)=F\left( {{x}^{6}} \right)-{{x}^{3}}.$
Ta có $H'\left( x \right)=6{{x}^{5}}.F'\left( {{x}_{6}} \right)-3{{x}^{2}}=6{{x}^{5}}.f\left( {{x}^{6}} \right)-3{{x}^{2}}=3{{x}^{2}}.\left[ 2{{x}^{3}}.f\left( {{x}^{6}} \right)-1 \right],$
$H'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 2{{x}^{3}}.f\left( {{x}^{6}} \right)=1\left( * \right) \\
\end{aligned} \right..$
Xét hàm số $h\left( x \right)=2{{x}^{3}}.f\left( {{x}^{6}} \right)$ có $h'\left( x \right)=6{{x}^{2}}.f\left( {{x}^{6}} \right)+12{{x}^{3}}.f'\left( {{x}^{6}} \right).$
Dựa vào đồ thị ta thấy $f'\left( x \right)>0$ với mọi $x\ge 0,$ do đó $h'\left( x \right)\ge 0$ với mọi $x.$
Mặt khác $\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} h\left( x \right)=-\infty ,\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} h\left( x \right)=+\infty .$ Vậy $\left( * \right)\Leftrightarrow x={{x}_{0}}$ ( ${{x}_{0}}>0,$ do $f\left( {{x}^{6}} \right)>0,\forall x$ ).
Bảng biến thiên của $H\left( x \right):$
Từ đó suy ra bảng biến thiên của $G\left( x \right)=\left| H\left( x \right) \right|$ như sau:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $G'\left( x \right)$ đổi dấu 3 lần nên hàm số $G\left( x \right)=\left| F\left( {{x}^{6}} \right)-{{x}^{3}} \right|$ có 3 điểm cực trị.
Ta có $H'\left( x \right)=6{{x}^{5}}.F'\left( {{x}_{6}} \right)-3{{x}^{2}}=6{{x}^{5}}.f\left( {{x}^{6}} \right)-3{{x}^{2}}=3{{x}^{2}}.\left[ 2{{x}^{3}}.f\left( {{x}^{6}} \right)-1 \right],$
$H'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 2{{x}^{3}}.f\left( {{x}^{6}} \right)=1\left( * \right) \\
\end{aligned} \right..$
Xét hàm số $h\left( x \right)=2{{x}^{3}}.f\left( {{x}^{6}} \right)$ có $h'\left( x \right)=6{{x}^{2}}.f\left( {{x}^{6}} \right)+12{{x}^{3}}.f'\left( {{x}^{6}} \right).$
Dựa vào đồ thị ta thấy $f'\left( x \right)>0$ với mọi $x\ge 0,$ do đó $h'\left( x \right)\ge 0$ với mọi $x.$
Mặt khác $\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} h\left( x \right)=-\infty ,\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} h\left( x \right)=+\infty .$ Vậy $\left( * \right)\Leftrightarrow x={{x}_{0}}$ ( ${{x}_{0}}>0,$ do $f\left( {{x}^{6}} \right)>0,\forall x$ ).
Bảng biến thiên của $H\left( x \right):$
Từ đó suy ra bảng biến thiên của $G\left( x \right)=\left| H\left( x \right) \right|$ như sau:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $G'\left( x \right)$ đổi dấu 3 lần nên hàm số $G\left( x \right)=\left| F\left( {{x}^{6}} \right)-{{x}^{3}} \right|$ có 3 điểm cực trị.
Đáp án D.