Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên biết...

Đặt $t={{e}^{x}}$.
Do $x\in \left( \ln 2;\ 1 \right)\Rightarrow t\in \left( 2;e \right)$.
Bất phương trình đã cho trở thành: $f\left( t \right)<m\left( 3t+2019 \right)$ có nghiệm trên $\left( 2;e \right)$.
$\Leftrightarrow m>\dfrac{f\left( t \right)}{3t+2019}$ có nghiệm trên $\left( 2;e \right)$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=\dfrac{f\left( t \right)}{3t+2019}$ trên $\left( 2;e \right)$.
Bài toán trở thành tìm m để $m>g\left( t \right)$ có nghiệm trên $\left( 2;e \right)$
$\Leftrightarrow m>\underset{\left[ 2;e \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)$.
Ta có: $g'\left( t \right)=\dfrac{f'\left( t \right).\left( 3t+2019 \right)-3f\left( t \right)}{{{\left( 3t+2019 \right)}^{2}}}>0.$
Nhận xét: Với $t\in \left( 2;e \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f'\left( t \right)>0 \\
& 2025<3t+2019<3e+2019 \\
& -4<f\left( t \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)>0$.
Do đó ta có: $m>\underset{\left[ 2;e \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( 2 \right)=\dfrac{f\left( 2 \right)}{2025}=-\dfrac{4}{2025}.$
Vậy $m>-\dfrac{4}{2025}.$