Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đồ thị ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ sau
Biết $f\left( 0 \right)=0$. Hỏi hàm số $g(x)=\left| \dfrac{1}{3}f\left( {{x}^{3}} \right)-x \right|$ có bao nhiêu cực trị.
A. $1$.
B. $3$.
C. $5$.
D. $4$.
Biết $f\left( 0 \right)=0$. Hỏi hàm số $g(x)=\left| \dfrac{1}{3}f\left( {{x}^{3}} \right)-x \right|$ có bao nhiêu cực trị.
A. $1$.
B. $3$.
C. $5$.
D. $4$.
Xét $h(x)=\dfrac{1}{3}f\left( {{x}^{3}} \right)-2x\Rightarrow {{h}^{\prime }}(x)={{x}^{2}}{{f}^{\prime }}\left( {{x}^{3}} \right)-2$
Ta có ${{h}^{\prime }}(x)=0\Leftrightarrow {{f}^{\prime }}\left( {{x}^{3}} \right)=\dfrac{2}{{{x}^{2}}},(x\ne 0),(1)$
Đặt $t={{x}^{3}}\Rightarrow x=\sqrt[3]{t}$
Từ $\left( 1 \right)$ ta có ${{f}^{\prime }}(t)=\dfrac{2}{\sqrt[3]{{{t}^{2}}}},(2)$
Xét $m(t)=\dfrac{2}{\sqrt[3]{{{t}^{2}}}}\Rightarrow {{m}^{\prime }}(t)=-\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{{{t}^{5}}}}$
Khi đó ta có đồ thị hai hàm số như sau
Suy ra phương trình $\left( 2 \right)$ có 1 nghiệm $t={{t}_{0}}>0\Rightarrow $ pt (1) có nghiệm $x=\sqrt[3]{{{t}_{0}}}={{x}_{0}}>0$
Bảng biến thiên của $h\left( x \right),g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$ như sau
Vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.
Ta có ${{h}^{\prime }}(x)=0\Leftrightarrow {{f}^{\prime }}\left( {{x}^{3}} \right)=\dfrac{2}{{{x}^{2}}},(x\ne 0),(1)$
Đặt $t={{x}^{3}}\Rightarrow x=\sqrt[3]{t}$
Từ $\left( 1 \right)$ ta có ${{f}^{\prime }}(t)=\dfrac{2}{\sqrt[3]{{{t}^{2}}}},(2)$
Xét $m(t)=\dfrac{2}{\sqrt[3]{{{t}^{2}}}}\Rightarrow {{m}^{\prime }}(t)=-\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{{{t}^{5}}}}$
Khi đó ta có đồ thị hai hàm số như sau
Suy ra phương trình $\left( 2 \right)$ có 1 nghiệm $t={{t}_{0}}>0\Rightarrow $ pt (1) có nghiệm $x=\sqrt[3]{{{t}_{0}}}={{x}_{0}}>0$
Bảng biến thiên của $h\left( x \right),g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$ như sau
Vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.
Đáp án B.