Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, hình vẽ bên là đồ thị của hai hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y={f}'\left( x \right)$.
Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left[ f\left( x \right)-m+1 \right]+\dfrac{1}{4}{{\left[ f\left( x \right)-m+1 \right]}^{2}}$ có $11$ điểm cực trị là:
A. $3$.
B. $5$.
C. $1$.
D. $2$.
A. $3$.
B. $5$.
C. $1$.
D. $2$.
Đạo hàm: ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)\left[ {f}'\left( f\left( x \right)-m+1 \right)+\dfrac{1}{2}\left( f\left( x \right)-m+1 \right) \right]$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)\left[ {f}'\left( f\left( x \right)-m+1 \right)+\dfrac{1}{2}\left( f\left( x \right)-m+1 \right) \right]$ có $11$ lần đổi dấu
$\Leftrightarrow {f}'\left( f\left( x \right)-m+1 \right)+\dfrac{1}{2}\left( f\left( x \right)-m+1 \right)$ có $8$ lần đổi dấu
Kẻ đường thẳng $y=-\dfrac{x}{2}$ qua các điểm $\left( -2;1 \right) ; \left( 0;0 \right) ; \left( 4 ;-2 \right)$ suy ra ${f}'\left( x \right)+\dfrac{1}{2}x$ sẽ cùng dấu với $\left( x+2 \right)x\left( x-4 \right)$.
Do đó ${f}'\left( f\left( x \right)-m+1 \right)+\dfrac{1}{2}\left( f\left( x \right)-m+1 \right)$ cùng dấu với
$\left( f\left( x \right)-m+3 \right)\left( f\left( x \right)-m+1 \right)\left( f\left( x \right)-m-3 \right)$
Xét $\left( f\left( x \right)-m+3 \right)\left( f\left( x \right)-m+1 \right)\left( f\left( x \right)-m-3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)-3=m \\
& f\left( x \right)+1=m \\
& f\left( x \right)+3=m \\
\end{aligned} \right.$
Phác họa đồ thị của ba hàm số trên cùng hệ trục tọa độ như sau:
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -5<m<-3 \\
& -1<m<1 \\
& 1<m<3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ -4;0;2 \right\} $. Vậy có $ 3 $giá trị của tham số $ m$ thỏa mãn.
Hướng tiếp cận khác: Xét $h\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{1}{4}{{x}^{2}} ; u\left( x \right)=f\left( x \right)-m+1\Rightarrow g\left( x \right)=h\left[ u\left( x \right) \right]$.
Ta có: ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+\dfrac{1}{2}x=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=-\dfrac{x}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=0 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right. $ nên hàm số $ h\left( x \right)$ có ba điểm cực trị.
Hàm số $u\left( x \right)=f\left( x \right)-m+1$ có ba điểm cực trị nên yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ ${h}'\left[ u\left( x \right) \right]$ đổi dấu $8$ lần $\Leftrightarrow \left( u\left( x \right)+2 \right)u\left( x \right)\left( u\left( x \right)-4 \right)$ đổi dấu $8$ lần. Sau đó tiếp tục thực hiện tương tự cách giải trước.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)\left[ {f}'\left( f\left( x \right)-m+1 \right)+\dfrac{1}{2}\left( f\left( x \right)-m+1 \right) \right]$ có $11$ lần đổi dấu
$\Leftrightarrow {f}'\left( f\left( x \right)-m+1 \right)+\dfrac{1}{2}\left( f\left( x \right)-m+1 \right)$ có $8$ lần đổi dấu
Kẻ đường thẳng $y=-\dfrac{x}{2}$ qua các điểm $\left( -2;1 \right) ; \left( 0;0 \right) ; \left( 4 ;-2 \right)$ suy ra ${f}'\left( x \right)+\dfrac{1}{2}x$ sẽ cùng dấu với $\left( x+2 \right)x\left( x-4 \right)$.
$\left( f\left( x \right)-m+3 \right)\left( f\left( x \right)-m+1 \right)\left( f\left( x \right)-m-3 \right)$
Xét $\left( f\left( x \right)-m+3 \right)\left( f\left( x \right)-m+1 \right)\left( f\left( x \right)-m-3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)-3=m \\
& f\left( x \right)+1=m \\
& f\left( x \right)+3=m \\
\end{aligned} \right.$
Phác họa đồ thị của ba hàm số trên cùng hệ trục tọa độ như sau:
& -5<m<-3 \\
& -1<m<1 \\
& 1<m<3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ -4;0;2 \right\} $. Vậy có $ 3 $giá trị của tham số $ m$ thỏa mãn.
Hướng tiếp cận khác: Xét $h\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{1}{4}{{x}^{2}} ; u\left( x \right)=f\left( x \right)-m+1\Rightarrow g\left( x \right)=h\left[ u\left( x \right) \right]$.
Ta có: ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+\dfrac{1}{2}x=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=-\dfrac{x}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=0 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right. $ nên hàm số $ h\left( x \right)$ có ba điểm cực trị.
Hàm số $u\left( x \right)=f\left( x \right)-m+1$ có ba điểm cực trị nên yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ ${h}'\left[ u\left( x \right) \right]$ đổi dấu $8$ lần $\Leftrightarrow \left( u\left( x \right)+2 \right)u\left( x \right)\left( u\left( x \right)-4 \right)$ đổi dấu $8$ lần. Sau đó tiếp tục thực hiện tương tự cách giải trước.
Đáp án A.