Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm xác định và liên tục...

Đạo hàm: $g^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)[f^{\prime }(f\left(x\right)-m+1)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(f\left(x\right)-m+1)]$
Yêu cầu bài toán $\iff g^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)[f^{\prime }(f\left(x\right)-m+1)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(f\left(x\right)-m+1)]$ có $11$ lần đổi dấu
$\iff f^{\prime }(f\left(x\right)-m+1)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(f\left(x\right)-m+1)$ có $8$ lần đổi dấu
Kẻ đường thẳng $y=-{\displaystyle \frac{x}{2}}$ qua các điểm $(-2;1);(0;0);(4;-2)$ suy ra $f^{\prime }\left(x\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}x$ sẽ cùng dấu với $(x+2)x(x-4)$.
Do đó $f^{\prime }(f\left(x\right)-m+1)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(f\left(x\right)-m+1)$ cùng dấu với
$(f\left(x\right)-m+3)(f\left(x\right)-m+1)(f\left(x\right)-m-3)$
Xét $(f\left(x\right)-m+3)(f\left(x\right)-m+1)(f\left(x\right)-m-3)=0\iff [\begin{array}{rl}& f\left(x\right)-3=m\\ & f\left(x\right)+1=m\\ & f\left(x\right)+3=m\end{array}$
Phác họa đồ thị của ba hàm số trên cùng hệ trục tọa độ như sau:
Yêu cầu bài toán $\iff [\begin{array}{rl}& -5<m<-3\\ & -1<m<1\\ & 1<m<3\end{array}\Rightarrow m\in \{-4;0;2\}$. Vậy có $3$giá trị của tham số $m$ thỏa mãn.
Hướng tiếp cận khác: Xét $h\left(x\right)=f\left(x\right)+{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2;u\left(x\right)=f\left(x\right)-m+1\Rightarrow g\left(x\right)=h\left[u\left(x\right)\right]$.
Ta có: $h^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}x=0\iff f^{\prime }\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x}{2}}\iff [\begin{array}{rl}& x=-2\\ & x=0\\ & x=4\end{array}$ nên hàm số $h\left(x\right)$ có ba điểm cực trị.
Hàm số $u\left(x\right)=f\left(x\right)-m+1$ có ba điểm cực trị nên yêu cầu bài toán $\iff$ $h^{\prime }\left[u\left(x\right)\right]$ đổi dấu $8$ lần $\iff (u\left(x\right)+2)u\left(x\right)(u\left(x\right)-4)$ đổi dấu $8$ lần. Sau đó tiếp tục thực hiện tương tự cách giải trước.