Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm và liên tục trên...

Phương pháp:
- Nhân cả 2 vế với ${{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}$ và sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế.
- Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
- Sử dụng giả thiết $f\left( 0 \right)=-2$ tìm hàm $f\left( x \right)$ tường minh và tính $f\left( 1 \right).$
Cách giải:
Ta có:
$f'\left( x \right)+xf\left( x \right)=2x{{e}^{-{{x}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow {{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}+{{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}xf\left( x \right)=2x{{e}^{\dfrac{-{{x}^{2}}}{2}}}$
$\Leftrightarrow {{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}f'\left( x \right)+f\left( x \right).\left( {{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}} \right)'=2x{{e}^{\dfrac{-{{x}^{2}}}{2}}}$
$\Leftrightarrow \left( f\left( x \right){{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}} \right)'=2x{{e}^{-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}$
$\Rightarrow f\left( x \right){{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}=\int\limits_{{}}^{{}}{2x{{e}^{\dfrac{-{{x}^{2}}}{2}}}dx}$
Xét $I=\int\limits_{{}}^{{}}{2x{{e}^{\dfrac{-{{x}^{2}}}{2}}}dx}$
Đặt $u={{e}^{\dfrac{-{{x}^{2}}}{2}}}\Rightarrow du=-x{{e}^{\dfrac{-{{x}^{2}}}{2}}}dx\Rightarrow xdx=-\dfrac{du}{{{e}^{\dfrac{-{{x}^{2}}}{2}}}}=-\dfrac{du}{u}.$
Khi đó ta có $I=\int\limits_{{}}^{{}}{2x{{e}^{\dfrac{-{{x}^{2}}}{2}}}dx}=-\int\limits_{{}}^{{}}{2u.\dfrac{du}{u}}=-2\int\limits_{{}}^{{}}{du}=-2u+C=-2{{e}^{\dfrac{-{{x}^{2}}}{2}}}+C.$
$\Rightarrow g\left( x \right){{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}=-2{{e}^{\dfrac{-{{x}^{2}}}{2}}}+C.$
Mà $f\left( 0 \right)=-2\Rightarrow -2=-2+C\Leftrightarrow C=0.$
Do đó $f\left( x \right){{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}=-2{{e}^{\dfrac{-{{x}^{2}}}{2}}}\Rightarrow f\left( x \right)=-2{{e}^{-{{x}^{2}}}}.$
Vậy $f\left( 1 \right)=-2{{e}^{-1}}=-\dfrac{2}{e}.$