Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm và đồng biến trên...

The Knowledge · 20/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm và đồng biến trên

R

thỏa mãn :

f (0) = 1

và

{(f^{'} (x))}^{2} = e^{x} f (x), \forall x \in R

.Tích phân

\int_{0}^{1} f (x) d x

bằng
A.

e - 2

B.

e - 1

C.

e^{2} - 2

D.

e^{2} - 1

Do

f (x)

đồng biến trên

R

thỏa mãn :

f (0) = 1

nên

{\begin{aligned} f^{'} (x) \geq 0 \\ f (x) \geq f (0) = 1 \end{aligned} (\forall x \in R)

Ta có :

{(f^{'} (x))}^{2} = e^{x} f (x) \Leftrightarrow f^{'} (x) = \sqrt{e^{x}} . \sqrt{f (x)} \Leftrightarrow \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{f (x)}} = \sqrt{e^{x}}

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được :

\int \frac{f^{'} (x) d x}{\sqrt{f (x)}} = \int \sqrt{e^{x}} d x \Leftrightarrow \int \frac{d [f (x)]}{\sqrt{f (x)}} = \int e^{\frac{1}{2}} d x = 2 e^{\frac{1}{2}} + C = 2 \sqrt{e^{x}} + C

\Leftrightarrow 2 \sqrt{f (x)} = 2 \sqrt{e^{x}} + C

Với

x = 0 \Rightarrow 2 \sqrt{f (0)} = 2 \sqrt{e^{0}} + C \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f (x) = e^{x}

Do đó

\int_{0}^{1} {f (x) d x = \int_{0}^{1} e^{x} d x = e^{x} |}_{0}^{1} = e - 1

.

Đáp án B.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và đồng biến trên...