Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm và đồng biến trên...

Do $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn : $f\left( 0 \right)=1$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)\ge 0 \\
& f\left( x \right)\ge f\left( 0 \right)=1 \\
\end{aligned} \right.\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
Ta có : ${{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}={{e}^{x}}f\left( x \right)\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=\sqrt{{{e}^{x}}}.\sqrt{f\left( x \right)}\Leftrightarrow \dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}=\sqrt{{{e}^{x}}}$
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được :
$\int{\dfrac{{f}'\left( x \right)dx}{\sqrt{f\left( x \right)}}}=\int{\sqrt{{{e}^{x}}}dx}\Leftrightarrow \int{\dfrac{d\left[ f\left( x \right) \right]}{\sqrt{f\left( x \right)}}}=\int{{{e}^{\dfrac{1}{2}}}dx=2{{e}^{\dfrac{1}{2}}}+C=2\sqrt{{{e}^{x}}}+C}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{f\left( x \right)}=2\sqrt{{{e}^{x}}}+C$
Với $x=0\Rightarrow 2\sqrt{f\left( 0 \right)}=2\sqrt{{{e}^{0}}}+C\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)={{e}^{x}}$
Do đó $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=\left. \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}} \right|}_{0}^{1}=e-1$.