Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau
Hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{{{x}^{3}}}$ có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ ?
A. Vô số
B. $1$
C. $2$
D. $0$
A. Vô số
B. $1$
C. $2$
D. $0$
Ta có $g'\left( x \right)=\dfrac{f'\left( x \right).{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.f\left( x \right)}{{{x}^{6}}}=0$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow f'\left( x \right).{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.f\left( x \right)=0\left( x\ne 0 \right) \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=0(loai) \\
& x.f'\left( x \right)=3f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Từ bảng biến thiên của hàm $f\left( x \right)$, ta thấy $f'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ và $f\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ do đó PT $x.f'\left( x \right)=3f\left( x \right)$ vô nghiệm trên $\left( 0;+\infty \right)$
Do đó, hàm $g\left( x \right)$ không có điểm cực trị trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow f'\left( x \right).{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.f\left( x \right)=0\left( x\ne 0 \right) \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=0(loai) \\
& x.f'\left( x \right)=3f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Từ bảng biến thiên của hàm $f\left( x \right)$, ta thấy $f'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ và $f\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ do đó PT $x.f'\left( x \right)=3f\left( x \right)$ vô nghiệm trên $\left( 0;+\infty \right)$
Do đó, hàm $g\left( x \right)$ không có điểm cực trị trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
Đáp án D.