Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa...

Từ giả thiết ta có: ${\displaystyle \frac{|f(x+2h)-f\left(x\right)|}{(x+2h)-x}}\le {\displaystyle \frac{h}{2}},\mathrm{\forall }h>0$.
$\Rightarrow 0\le \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{|f(x+2h)-f\left(x\right)|}{(x+2h)-x}}\le \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{h}{2}}=0\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left(x\right)=C$ (C là hằng số).
Ta có: $\begin{array}{rl}& g^{\prime }\left(x\right)=2019{[x+f^{\prime }\left(x\right)]}^{2018}[1+f^{″}\left(x\right)]+(29-m){[x+f^{\prime }\left(x\right)]}^{28-m}[1+f^{″}\left(x\right)]-(m^4-29m^2+100)\sin 2x\\ & =2019x^{2018}+(29-m)x^{28-m}-(m^4-29m^2+100)\sin 2x\end{array}$
$g^{″}\left(x\right)=2019.2018.x^{2017}+(29-m)(28-m)x^{27-m}-2(m^4-29m^2+100)\cos 2x$.
Khi đó: $\begin{array}{rl}& g^{\prime }\left(0\right)=0;g^{″}\left(0\right)=-2(m^4-29m^2+100).\\ & g^{″}\left(0\right)>0\iff m^4-29m^2+100<0\iff 4<m^2<25\iff [\begin{array}{rl}& -5<m<-2\\ & 2<m<5\end{array}.\end{array}$
TH1: $m=2,$ ta có: $g^{\prime }\left(x\right)=2019x^{2018}+27x^{26}=x^{26}(2019x^{1992}+27)$.
Vì $x=0$ là nghiệm bội chẵn của phương trình $g^{\prime }\left(x\right)=0$ nên trường hợp này loại.
TH2: $m=5,$ ta có: $g^{\prime }\left(x\right)=2019x^{2018}+24x^{23}=x^{23}(2019x^{1995}+24)$.
TH3: $m=-2,$ ta có: $g^{\prime }\left(x\right)=2019x^{2018}+31x^{30}=x^{30}(2019x^{1988}+31)$.
Vì $x=0$ là nghiệm bội chẵn của phương trình $g^{\prime }\left(x\right)=0$ nên $m=-2$ không thỏa mãn.
TH4: $m=5,$ ta có: $g^{\prime }\left(x\right)=2019x^{2018}+24x^{23}=x^{23}(2019x^{1995}+24)$.
Do $g^{\prime }\left(x\right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$ nên hàm số $g\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x=0$.
TH5: $m=-5,$ ta có: $g^{\prime }\left(x\right)=2019x^{2018}+34x^{33}=x^{33}(2019x^{1985}+34)$.
Do $g^{\prime }\left(x\right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$ nên hàm số $g\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x=0$.
Vậy $m\in S=\{-5;-4;-3;3;4;5\}$ nên tổng các bình phương của các phần tử của S là 100.