Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\left| f\left( x+h \right)-f\left( x-h \right) \right|\le {{h}^{2}},\ \forall x\in \mathbb{R},\ \forall h>0$. Đặt $g\left( x \right)={{\left[ x+f'\left( x \right) \right]}^{2019}}+{{\left[ x+f'\left( x \right) \right]}^{29-m}}-\left( {{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100 \right){{\sin }^{2}}x-1$, m là tham số nguyên và $m<27$. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=0$. Tính tổng bình phương các phần tử của S.
A. 100.
B. 50.
C. 108.
D. 58.
A. 100.
B. 50.
C. 108.
D. 58.
Từ giả thiết ta có: $\dfrac{\left| f\left( x+2h \right)-f\left( x \right) \right|}{\left( x+2h \right)-x}\le \dfrac{h}{2},\ \forall h>0$.
$\Rightarrow 0\le \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left| f\left( x+2h \right)-f\left( x \right) \right|}{\left( x+2h \right)-x}\le \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{h}{2}=0\Rightarrow f'\left( x \right)=0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left( x \right)=C$ (C là hằng số).
Ta có: $\begin{aligned}
& g'\left( x \right)=2019{{\left[ x+f'\left( x \right) \right]}^{2018}}\left[ 1+f''\left( x \right) \right]+\left( 29-m \right){{\left[ x+f'\left( x \right) \right]}^{28-m}}\left[ 1+f''\left( x \right) \right]-\left( {{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100 \right)\sin 2x \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2019{{x}^{2018}}+\left( 29-m \right){{x}^{28-m}}-\left( {{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100 \right)\sin 2x \\
\end{aligned}$
$g''\left( x \right)=2019.2018.{{x}^{2017}}+\left( 29-m \right)\left( 28-m \right){{x}^{27-m}}-2\left( {{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100 \right)\cos 2x$.
Khi đó: $\begin{aligned}
& g'\left( 0 \right)=0;\ g''\left( 0 \right)=-2\left( {{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100 \right). \\
& g''\left( 0 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100<0\Leftrightarrow 4<{{m}^{2}}<25\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -5<m<-2 \\
& 2<m<5 \\
\end{aligned} \right.. \\
\end{aligned}$
TH1: $m=2,$ ta có: $g'\left( x \right)=2019{{x}^{2018}}+27{{x}^{26}}={{x}^{26}}\left( 2019{{x}^{1992}}+27 \right)$.
Vì $x=0$ là nghiệm bội chẵn của phương trình $g'\left( x \right)=0$ nên trường hợp này loại.
TH2: $m=5,$ ta có: $g'\left( x \right)=2019{{x}^{2018}}+24{{x}^{23}}={{x}^{23}}\left( 2019{{x}^{1995}}+24 \right)$.
TH3: $m=-2,$ ta có: $g'\left( x \right)=2019{{x}^{2018}}+31{{x}^{30}}={{x}^{30}}\left( 2019{{x}^{1988}}+31 \right)$.
Vì $x=0$ là nghiệm bội chẵn của phương trình $g'\left( x \right)=0$ nên $m=-2$ không thỏa mãn.
TH4: $m=5,$ ta có: $g'\left( x \right)=2019{{x}^{2018}}+24{{x}^{23}}={{x}^{23}}\left( 2019{{x}^{1995}}+24 \right)$.
Do $g'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$ nên hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=0$.
TH5: $m=-5,$ ta có: $g'\left( x \right)=2019{{x}^{2018}}+34{{x}^{33}}={{x}^{33}}\left( 2019{{x}^{1985}}+34 \right)$.
Do $g'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$ nên hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=0$.
Vậy $m\in S=\left\{ -5;-4;-3;3;4;5 \right\}$ nên tổng các bình phương của các phần tử của S là 100.
$\Rightarrow 0\le \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left| f\left( x+2h \right)-f\left( x \right) \right|}{\left( x+2h \right)-x}\le \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{h}{2}=0\Rightarrow f'\left( x \right)=0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left( x \right)=C$ (C là hằng số).
Ta có: $\begin{aligned}
& g'\left( x \right)=2019{{\left[ x+f'\left( x \right) \right]}^{2018}}\left[ 1+f''\left( x \right) \right]+\left( 29-m \right){{\left[ x+f'\left( x \right) \right]}^{28-m}}\left[ 1+f''\left( x \right) \right]-\left( {{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100 \right)\sin 2x \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2019{{x}^{2018}}+\left( 29-m \right){{x}^{28-m}}-\left( {{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100 \right)\sin 2x \\
\end{aligned}$
$g''\left( x \right)=2019.2018.{{x}^{2017}}+\left( 29-m \right)\left( 28-m \right){{x}^{27-m}}-2\left( {{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100 \right)\cos 2x$.
Khi đó: $\begin{aligned}
& g'\left( 0 \right)=0;\ g''\left( 0 \right)=-2\left( {{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100 \right). \\
& g''\left( 0 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{4}}-29{{m}^{2}}+100<0\Leftrightarrow 4<{{m}^{2}}<25\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -5<m<-2 \\
& 2<m<5 \\
\end{aligned} \right.. \\
\end{aligned}$
TH1: $m=2,$ ta có: $g'\left( x \right)=2019{{x}^{2018}}+27{{x}^{26}}={{x}^{26}}\left( 2019{{x}^{1992}}+27 \right)$.
Vì $x=0$ là nghiệm bội chẵn của phương trình $g'\left( x \right)=0$ nên trường hợp này loại.
TH2: $m=5,$ ta có: $g'\left( x \right)=2019{{x}^{2018}}+24{{x}^{23}}={{x}^{23}}\left( 2019{{x}^{1995}}+24 \right)$.
TH3: $m=-2,$ ta có: $g'\left( x \right)=2019{{x}^{2018}}+31{{x}^{30}}={{x}^{30}}\left( 2019{{x}^{1988}}+31 \right)$.
Vì $x=0$ là nghiệm bội chẵn của phương trình $g'\left( x \right)=0$ nên $m=-2$ không thỏa mãn.
TH4: $m=5,$ ta có: $g'\left( x \right)=2019{{x}^{2018}}+24{{x}^{23}}={{x}^{23}}\left( 2019{{x}^{1995}}+24 \right)$.
Do $g'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$ nên hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=0$.
TH5: $m=-5,$ ta có: $g'\left( x \right)=2019{{x}^{2018}}+34{{x}^{33}}={{x}^{33}}\left( 2019{{x}^{1985}}+34 \right)$.
Do $g'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$ nên hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=0$.
Vậy $m\in S=\left\{ -5;-4;-3;3;4;5 \right\}$ nên tổng các bình phương của các phần tử của S là 100.
Đáp án A.