Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ được cho như hình vẽ. Biết rằng $f\left( 0 \right)+f\left( 3 \right)=f\left( 2 \right)+f\left( 5 \right)$. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của $f\left( x \right)$ trên đoạn [0; 5] lần lượt là
A. $f\left( 0 \right), f\left( 5 \right)$
B. $f\left( 2 \right), f\left( 0 \right)$
C. $f\left( 1 \right), f\left( 5 \right)$
D. $f\left( 2 \right), f\left( 5 \right)$
Cách 1: Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
$\underset{\left[ 2; 5 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)$ và $\underset{\left[ 0; 5 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( 0 \right), f\left( 5 \right) \right\}$
Vì $f\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ 2; 5 \right]$ nên
$f\left( 3 \right)>f\left( 2 \right)\Rightarrow f\left( 5 \right)-f\left( 2 \right)>f\left( 5 \right)-f\left( 3 \right)=f\left( 0 \right)-f\left( 2 \right)$
Do đó $f\left( 5 \right)>f\left( 0 \right)$, vậy $\underset{\left[ 0; 5 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( 0 \right), f\left( 5 \right) \right\}=f\left( 5 \right)$
Cách 2: Căn cứ đồ thị của $y={f}'\left( x \right)$ và ứng dụng tích phân, ta có:
${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{2}{\left| {f}'\left( x \right) \right|dx}=\int\limits_{0}^{2}{{f}'\left( x \right)dx}=f\left( 0 \right)-f\left( 2 \right)$
và ${{S}_{2}}=\int\limits_{2}^{5}{\left| {f}'\left( x \right) \right|dx}=\int\limits_{2}^{5}{{f}'\left( x \right)dx}=f\left( 2 \right)-f\left( 5 \right)$
Theo giả thiết, ta có $f\left( 0 \right)+f\left( 3 \right)=f\left( 2 \right)+f\left( 5 \right)\Rightarrow f\left( 5 \right)-f\left( 3 \right)=f\left( 0 \right)-f\left( 2 \right)$
Suy ra ${{S}_{2}}=\int\limits_{2}^{5}{\left| {f}'\left( x \right) \right|dx}>\int\limits_{3}^{5}{\left| {f}'\left( x \right) \right|dx}=f\left( 5 \right)-f\left( 3 \right)={{S}_{1}}$
Suy ra ${{S}_{2}}>{{S}_{1}}>0\Rightarrow f\left( 5 \right)>f\left( 0 \right)>f\left( 2 \right)$
Vậy $\underset{\left[ 0; 5 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right), \underset{\left[ 0; 5 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 5 \right)$
B. $f\left( 2 \right), f\left( 0 \right)$
C. $f\left( 1 \right), f\left( 5 \right)$
D. $f\left( 2 \right), f\left( 5 \right)$
$\underset{\left[ 2; 5 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)$ và $\underset{\left[ 0; 5 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( 0 \right), f\left( 5 \right) \right\}$
Vì $f\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ 2; 5 \right]$ nên
$f\left( 3 \right)>f\left( 2 \right)\Rightarrow f\left( 5 \right)-f\left( 2 \right)>f\left( 5 \right)-f\left( 3 \right)=f\left( 0 \right)-f\left( 2 \right)$
Do đó $f\left( 5 \right)>f\left( 0 \right)$, vậy $\underset{\left[ 0; 5 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( 0 \right), f\left( 5 \right) \right\}=f\left( 5 \right)$
Cách 2: Căn cứ đồ thị của $y={f}'\left( x \right)$ và ứng dụng tích phân, ta có:
${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{2}{\left| {f}'\left( x \right) \right|dx}=\int\limits_{0}^{2}{{f}'\left( x \right)dx}=f\left( 0 \right)-f\left( 2 \right)$
và ${{S}_{2}}=\int\limits_{2}^{5}{\left| {f}'\left( x \right) \right|dx}=\int\limits_{2}^{5}{{f}'\left( x \right)dx}=f\left( 2 \right)-f\left( 5 \right)$
Theo giả thiết, ta có $f\left( 0 \right)+f\left( 3 \right)=f\left( 2 \right)+f\left( 5 \right)\Rightarrow f\left( 5 \right)-f\left( 3 \right)=f\left( 0 \right)-f\left( 2 \right)$
Suy ra ${{S}_{2}}=\int\limits_{2}^{5}{\left| {f}'\left( x \right) \right|dx}>\int\limits_{3}^{5}{\left| {f}'\left( x \right) \right|dx}=f\left( 5 \right)-f\left( 3 \right)={{S}_{1}}$
Suy ra ${{S}_{2}}>{{S}_{1}}>0\Rightarrow f\left( 5 \right)>f\left( 0 \right)>f\left( 2 \right)$
Vậy $\underset{\left[ 0; 5 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right), \underset{\left[ 0; 5 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 5 \right)$
Đáp án D.