Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Biết...

Dựa vào giả thiết ta xét $f\left( x \right)$ là hàm bậc hai.
Giả sử $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$, $x\in \mathbb{R}$.
$\Rightarrow 4f\left( x \right)=4a{{x}^{2}}+4bx+4c$.
Có ${f}'\left( x \right)=2ax+b$ $\Rightarrow {{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}={{\left( 2ax+b \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4abx+{{b}^{2}}$.
$4f\left( x \right)-{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}=4a\left( 1-a \right){{x}^{2}}+4b\left( 1-a \right)x+4c-{{b}^{2}}$.
Theo giả thiết $4f\left( x \right)-{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}={{x}^{2}}+2x$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4a\left( 1-a \right)=1 \\
& 4b\left( 1-a \right)=2 \\
& 4c-{{b}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& b=1 \\
& c=\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right.$.
Như vậy hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+x+\dfrac{1}{4}$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta có: $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x=\int\limits_{0}^{1}{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x+\dfrac{1}{4} \right)}\text{d}x=\left. \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{6}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\dfrac{1}{4}x \right) \right|_{0}^{1}=\dfrac{11}{12}$.