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Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, biết ${f}'\left( x \right)-2018f\left( x \right)=2018.2017.{{x}^{2017}}.{{e}^{2018\text{x}}}$ với mọi $x\in \mathbb{R};\text{ f}\left( 0 \right)=2018$. Giá trị của $f\left( 1 \right)$ là
A. $f\left( 1 \right)=2018{{e}^{-2018}}$
B. $f\left( 1 \right)=2019{{e}^{-2018}}$
C. $f\left( 1 \right)=2018{{e}^{2018}}$
D. $f\left( 1 \right)=2019{{e}^{2018}}$
A. $f\left( 1 \right)=2018{{e}^{-2018}}$
B. $f\left( 1 \right)=2019{{e}^{-2018}}$
C. $f\left( 1 \right)=2018{{e}^{2018}}$
D. $f\left( 1 \right)=2019{{e}^{2018}}$
Ta có: ${f}'\left( x \right)-2018f\left( x \right)=2018.{{x}^{2017}}.{{e}^{2018\text{x}}}\Leftrightarrow {f}'\left( x \right).{{e}^{-2018\text{x}}}-2018{{\text{e}}^{-2018\text{x}}}f\left( x \right)=2018{{\text{x}}^{2017}}$
$\Rightarrow {{\left[ f\left( x \right){{e}^{-2018\text{x}}} \right]}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2018}} \right)}^{\prime }}\Rightarrow \int{{{\left[ f\left( x \right).{{e}^{-2018\text{x}}} \right]}^{\prime }}d\text{x}}=\int{{{\left( {{x}^{2018}} \right)}^{\prime }}d\text{x}}\Rightarrow f\left( x \right){{e}^{-2018\text{x}}}={{x}^{2018}}+C$
Do $f\left( 0 \right)=2018\Rightarrow f\left( 0 \right).{{e}^{0}}=C\Rightarrow C=2018\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{2018}}.{{e}^{2018\text{x}}}+2018{{\text{e}}^{2018\text{x}}}$
$\Rightarrow f\left( 1 \right)={{e}^{2018}}+2018{{\text{e}}^{2018}}=2019{{\text{e}}^{2018\text{x}}}$.
$\Rightarrow {{\left[ f\left( x \right){{e}^{-2018\text{x}}} \right]}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2018}} \right)}^{\prime }}\Rightarrow \int{{{\left[ f\left( x \right).{{e}^{-2018\text{x}}} \right]}^{\prime }}d\text{x}}=\int{{{\left( {{x}^{2018}} \right)}^{\prime }}d\text{x}}\Rightarrow f\left( x \right){{e}^{-2018\text{x}}}={{x}^{2018}}+C$
Do $f\left( 0 \right)=2018\Rightarrow f\left( 0 \right).{{e}^{0}}=C\Rightarrow C=2018\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{2018}}.{{e}^{2018\text{x}}}+2018{{\text{e}}^{2018\text{x}}}$
$\Rightarrow f\left( 1 \right)={{e}^{2018}}+2018{{\text{e}}^{2018}}=2019{{\text{e}}^{2018\text{x}}}$.
Đáp án D.