Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm trên khoảng $\left(...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm trên khoảng

(0; + \infty)

và

f (x) > 0

,

\forall x \in (0; + \infty)

thỏa mãn

f^{'} (x) = - x . f^{2} (x)

với mọi

x \in (0; + \infty)

, biết

f (1) = \frac{2}{a + 3}

và

f (2) > \frac{1}{4}

. Tổng tất cả các giá trị nguyên của a thỏa mãn là
A. –14.
B. 1.
C. 0.
D. –2.

Trên

(0; + \infty)

ta có

f^{'} (x) = - x . f^{2} (x) \Leftrightarrow - \frac{f^{'} (x)}{f^{2} (x)} = x \Leftrightarrow {(\frac{1}{f (x)})}^{'} = x

.

\int_{}^{} {(\frac{1}{f (x)})}^{'} d x = \int_{}^{} x d x \Leftrightarrow \frac{1}{f (x)} = \frac{x^{2}}{2} + C

.
Có

f (1) = \frac{2}{a + 3} \Rightarrow \frac{2}{a + 3} = \frac{1}{2} + C \Leftrightarrow C = \frac{a + 2}{2}

.

\frac{1}{f (2)} = 2 + \frac{a + 2}{2} \Rightarrow f (2) = \frac{2}{a + 6}

;

f (2) > \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{2}{a + 6} > \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{2 - a}{4 (a + 6)} > 0 \Leftrightarrow - 6 < a < 2

.
Ta có

\frac{1}{f (x)} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{a + 2}{2}

. Do đó

f (x) > 0

,

\forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow a \geq - 2

.
Có

a \in Z \Rightarrow a \in {- 2; - 1; 0; 1}

. Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của a cần tìm là –2.

Đáp án D.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng $\left(...