Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm trên đoạn $\left[ 1;e...

The Funny · 23/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm trên đoạn

[1; e]

và thỏa mãn

f (1) = 0

;

[f^{'} (x) - 1] x = f (x), \forall x \in [1; e]

. Tích phân

\int_{1}^{e} f (x) d x

bằng
A.

\frac{e^{2} - 1}{4}

.
B.

\frac{e^{2} + 1}{2}

.
C.

\frac{e^{2} + 1}{4}

.
D.

\frac{e^{2} - 1}{2}

.

[f^{'} (x) - 1] x = f (x) \Leftrightarrow f^{'} (x) x - f (x) = x \Rightarrow \frac{1}{x} f^{'} (x) + \frac{- 1}{x^{2}} f (x) = \frac{1}{x}

\Leftrightarrow {[\frac{1}{x} f (x)]}^{'} = \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{1}{x} f (x) = \ln x + C

do

x \in [1; e]

, mà

f (1) = 0

\Rightarrow f (x) = x \ln x

.

\int_{1}^{e} f (x) d x = \int_{1}^{e} x \ln x d x = {\frac{x^{2}}{2} \ln x |}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{2} d x = \frac{e^{2}}{2} - (\frac{e^{2}}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{e^{2} + 1}{4}

.

Đáp án C.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn $\left[ 1;e...