Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm riêng liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f\left( 6 \right)=1$ và $\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 6x \right)dx=1}$. Khi đó $\int\limits_{0}^{6}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)dx}$ bằng
A. $\dfrac{107}{3}$
B. 34
C. 24
D. -36
A. $\dfrac{107}{3}$
B. 34
C. 24
D. -36
Theo bài ra: $\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 6x \right)dx=1}$. Đặt $t=6x\Rightarrow dt=6dx$
Đổi cận:
Do đó: $\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 6x \right)dx=1\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{6}{\dfrac{1}{6}t.f\left( t \right)\dfrac{dt}{6}=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{36}\int\limits_{0}^{6}{t.f\left( t \right)dt=1\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{6}{t.f\left( t \right)dt=36}}}}$
Tính $I=\int\limits_{0}^{6}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)dx}$. Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{x}^{2}} \\
& dv={f}'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=2xdx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow I={{x}^{2}}f\left( x \right)\left| _{0}^{6} \right.-\int\limits_{0}^{6}{2f\left( x \right)dx=36f\left( 6 \right)-2\int\limits_{0}^{6}{xf\left( x \right)dx=36.1-2.36=-36}}$
Đổi cận:
Tính $I=\int\limits_{0}^{6}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)dx}$. Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{x}^{2}} \\
& dv={f}'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=2xdx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow I={{x}^{2}}f\left( x \right)\left| _{0}^{6} \right.-\int\limits_{0}^{6}{2f\left( x \right)dx=36f\left( 6 \right)-2\int\limits_{0}^{6}{xf\left( x \right)dx=36.1-2.36=-36}}$
Đáp án D.