Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục và nhận giá trị...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm liên tục và nhận giá trị dương trên

(0; + \infty)

thỏa mãn điều kiện

\frac{1}{f^{2} (x)} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x f^{'} (x)}{f^{3} (x)}

với mọi

x \in (1; + \infty)

đồng thời

f (2) = 1

. Giá trị của

f (4)

là
A.

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

B.

\frac{\sqrt{2}}{3}

C.

\frac{4}{3}

D.

\frac{16}{9}

Ta có

\frac{1}{f^{2} (x)} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x f^{'} (x)}{f^{3} (x)} \Leftrightarrow \frac{f^{2} (x) - 2 x f (x) . f^{'} (x)}{f^{4} (x)} = \frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow {(\frac{x}{f^{2} (x)})}^{'} = \frac{1}{x^{2}}

.
Suy ra

\int {(\frac{x}{f^{2} (x)})}^{'} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x \Leftrightarrow \frac{x}{f^{2} (x)} = - \frac{1}{x} + C

.
Lại có

f (2) = 1

nên

C = \frac{5}{2}

.
Do đó:

\frac{x}{f^{2} (x)} = \frac{5}{2} - \frac{1}{x} = \frac{5 x - 2}{2 x} \Rightarrow f^{2} (x) = \frac{2 x^{2}}{5 x - 2}

.
Suy ra

f^{2} (4) = \frac{16}{9} \Rightarrow f (4) = \frac{4}{3}

.

Đáp án C.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục và nhận giá trị...