Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $f\left( 0 \right)=1$ và ${f}'\left( x \right)=\left( 2-3\text{x} \right)f\left( x \right)$, khi đó giá trị của $f\left( 1 \right)$ bằng
A. 2
B. ${{e}^{\dfrac{1}{2}}}$
C. ${{e}^{2}}$
D. $\dfrac{1}{2}$
A. 2
B. ${{e}^{\dfrac{1}{2}}}$
C. ${{e}^{2}}$
D. $\dfrac{1}{2}$
Ta có ${f}'\left( x \right)=\left( 2-3\text{x} \right)f\left( x \right)\Leftrightarrow \dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=2-3\text{x}$. Lấy nguyên hàm hai vế ta có:
$\int{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}d\text{x}}=\int{\left( 2-3\text{x} \right)d\text{x}}\Leftrightarrow \ln \left| f\left( x \right) \right|=2\text{x}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+C$.
Thay $x=0$ ta có: $\ln \left| f\left( 0 \right) \right|=C\Leftrightarrow \ln 1=C=0\Rightarrow \ln \left| f\left( x \right) \right|=2\text{x}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}$.
Mà $f\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \ln f\left( x \right)=2\text{x}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}$. Thay $x=1$ ta có $f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2}\Rightarrow f\left( 1 \right)={{e}^{\dfrac{1}{2}}}$.
$\int{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}d\text{x}}=\int{\left( 2-3\text{x} \right)d\text{x}}\Leftrightarrow \ln \left| f\left( x \right) \right|=2\text{x}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+C$.
Thay $x=0$ ta có: $\ln \left| f\left( 0 \right) \right|=C\Leftrightarrow \ln 1=C=0\Rightarrow \ln \left| f\left( x \right) \right|=2\text{x}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}$.
Mà $f\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \ln f\left( x \right)=2\text{x}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}$. Thay $x=1$ ta có $f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2}\Rightarrow f\left( 1 \right)={{e}^{\dfrac{1}{2}}}$.
Đáp án B.