Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm liên tục trên

R

và thỏa mãn các điều kiện

f (0) = - 2

và

(x^{2} + 1) f^{'} (x) + x f (x) = - x

,

\forall x \in R

. Tính tích phân

I = \int_{0}^{\sqrt{3}} x f (x) d x

.
A.

I = - \frac{4}{3}

.
B.

I = - \frac{1}{2}

.
C.

I = - \frac{3}{2}

.
D.

I = - \frac{5}{2}

.

Ta có:

(x^{2} + 1) f^{'} (x) + x f (x) = - x

\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 1} . f^{'} (x) + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} . f (x) = - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

\Leftrightarrow {[\sqrt{x^{2} + 1} . f (x)]}^{'} = {(- \sqrt{x^{2} + 1})}^{'}

\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 1} . f (x) = - \sqrt{x^{2} + 1} + C

\Leftrightarrow f (x) = - 1 + \frac{C}{\sqrt{x^{2} + 1}}

.
Vì

f (0) = - 2

nên

- 2 = - 1 + \frac{C}{\sqrt{0^{2} + 1}} \Rightarrow C = - 1

. Do đó

f (x) = - 1 - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

.
Khi đó

I = \int_{0}^{\sqrt{3}} x f (x) d x = \int_{0}^{\sqrt{3}} [- x - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}] d x = {[- \frac{1}{2} x^{2} - \sqrt{x^{2} + 1}] |}_{0}^{\sqrt{3}} = (- \frac{3}{2} - \sqrt{3 + 1}) - (- 0 - 1) = - \frac{5}{2}

.

Đáp án D.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên...