Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( 0 \right)=0$ và ${f}'\left( x \right)\left( 1+{{e}^{f\left( x \right)}} \right)=1+{{e}^{x}},\forall x\in \mathbb{R}.$ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1,x=3.$
A. $4.$
B. $2.$
C. $8.$
D. $5.$
$\Rightarrow f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}+C.$
+) Lại có $f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}.$
Xét hàm số $g\left( t \right)=t+{{e}^{t}}$ với $t\in \mathbb{R}.$ ${g}'\left( t \right)=1+{{e}^{t}}>0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Suy ra $f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}\Rightarrow f\left( x \right)=x.$ Do đó $S=\int\limits_{1}^{3}{xdx}=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\left| \begin{aligned}
& 3 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.=4.$
A. $4.$
B. $2.$
C. $8.$
D. $5.$
+) Ta có ${f}'\left( x \right)\left( 1+{{e}^{f\left( x \right)}} \right)=1+{{e}^{x}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)+{f}'\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}=1+{{e}^{x}}\Rightarrow {{\left[ f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}} \right]}^{\prime }}=1+{{e}^{x}}$ $\Rightarrow f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}+C.$
+) Lại có $f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}.$
Xét hàm số $g\left( t \right)=t+{{e}^{t}}$ với $t\in \mathbb{R}.$ ${g}'\left( t \right)=1+{{e}^{t}}>0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Suy ra $f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}=x+{{e}^{x}}\Rightarrow f\left( x \right)=x.$ Do đó $S=\int\limits_{1}^{3}{xdx}=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\left| \begin{aligned}
& 3 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.=4.$
Đáp án A.