Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên...

The Funny · 19/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm liên tục trên

R

thỏa mãn

f (0) = 0

và

f^{'} (x) (1 + e^{f (x)}) = 1 + e^{x}, \forall x \in R .

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f (x)

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 1, x = 3.

A.

4.

B.

2.

C.

8.

D.

5.

+) Ta có

f^{'} (x) (1 + e^{f (x)}) = 1 + e^{x} \Rightarrow f^{'} (x) + f^{'} (x) e^{f (x)} = 1 + e^{x} \Rightarrow {[f (x) + e^{f (x)}]}^{'} = 1 + e^{x}

\Rightarrow f (x) + e^{f (x)} = x + e^{x} + C .

+) Lại có

f (0) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f (x) + e^{f (x)} = x + e^{x} .

Xét hàm số

g (t) = t + e^{t}

với

t \in R .

g^{'} (t) = 1 + e^{t} > 0, \forall t \in R

nên

g (t)

đồng biến trên

R .

Suy ra

f (x) + e^{f (x)} = x + e^{x} \Rightarrow f (x) = x .

Do đó

S = \int_{1}^{3} x d x = \frac{1}{2} x^{2} | \begin{aligned} 3 \\ 1 \end{aligned} = 4.

Đáp án A.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên...