Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f\left( 2 \right)=3 v\grave{a} \int\limits_{-1}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)dx=4}$, khi đó $\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{2}}f'\left( x \right)dx}$ bằng
A. 8
B. 4
C. 10
D. 6
A. 8
B. 4
C. 10
D. 6
Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+1\Rightarrow 2tdt=dx$
Đổi cận ta được
$\int\limits_{-1}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)dx=\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right).2tdt=2\int\limits_{0}^{2}{t.f\left( t \right)dt=4\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{xf\left( x \right)dx}}}}=2$
Mặt khác $I={{x}^{2}}f'\left( x \right)dx$ ta đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{x}^{2}} \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=2xdx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $I={{x}^{2}}\left. f\left( x \right) \right|_{0}^{2}-2\int\limits_{0}^{2}{xf\left( x \right)dx=4.f\left( 2 \right)-2.2=8}$.
Đổi cận ta được
$\int\limits_{-1}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)dx=\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right).2tdt=2\int\limits_{0}^{2}{t.f\left( t \right)dt=4\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{xf\left( x \right)dx}}}}=2$
Mặt khác $I={{x}^{2}}f'\left( x \right)dx$ ta đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{x}^{2}} \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=2xdx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $I={{x}^{2}}\left. f\left( x \right) \right|_{0}^{2}-2\int\limits_{0}^{2}{xf\left( x \right)dx=4.f\left( 2 \right)-2.2=8}$.
Đáp án A.