Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f\left( 5 \right)=1$ và $\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 5x \right)dx}=1$, khi đó $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)dx}$ bằng
A. 15
B. 23
C. $\dfrac{123}{5}$
D. -25
A. 15
B. 23
C. $\dfrac{123}{5}$
D. -25
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:
$I=\int\limits_{0}^{5}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{5}{{{x}^{2}}df\left( x \right)}={{x}^{2}}.f\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& ^{5} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)d{{x}^{2}}}=25.f\left( 5 \right)-0.f\left( x \right)-\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)}.2xdx$
$=25-2\int\limits_{0}^{5}{xf\left( x \right)dx}$. Ta có $\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 5x \right)dx}=1$. Đặt $5x=t\Rightarrow \int\limits_{0}^{5}{\dfrac{t}{5}f\left( t \right)d\dfrac{t}{5}}=1\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{5}{tf\left( t \right)dt}=25$
Vậy $I=25-2.25=-25$
$I=\int\limits_{0}^{5}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{5}{{{x}^{2}}df\left( x \right)}={{x}^{2}}.f\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& ^{5} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)d{{x}^{2}}}=25.f\left( 5 \right)-0.f\left( x \right)-\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)}.2xdx$
$=25-2\int\limits_{0}^{5}{xf\left( x \right)dx}$. Ta có $\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 5x \right)dx}=1$. Đặt $5x=t\Rightarrow \int\limits_{0}^{5}{\dfrac{t}{5}f\left( t \right)d\dfrac{t}{5}}=1\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{5}{tf\left( t \right)dt}=25$
Vậy $I=25-2.25=-25$
Đáp án D.