Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên...

Định hướng giải.
Ta thấy $\int\limits_{0}^{4}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)}$ có dấu hiệu tích phân từng phần nên đặt
$\left\{ \begin{aligned}
& u={{x}^{2}} \\
& dv={f}'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=2dx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $I={{x}^{2}}.\left. f\left( x \right) \right|_{0}^{4}-\int\limits_{0}^{4}{2x.f\left( x \right)dx},$ lúc này đi tính $\int\limits_{0}^{4}{2x.f\left( x \right)dx}$ nữa là xong.
Từ giả thuyết $\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 4x \right)dx}=1$ đặt $t=4x.$
Xét $\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 4x \right)dx}=1.$
Đặt: $t=4x\Rightarrow \int\limits_{0}^{4}{\dfrac{1}{4}t.f\left( t \right).\dfrac{1}{4}dt}=1\Rightarrow \int\limits_{0}^{4}{t.f\left( t \right)dt}=16\Rightarrow \int\limits_{0}^{4}{x.f\left( x \right)}dx=16.$
Xét $I=\int\limits_{0}^{4}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)}dx.$ Suy ra: $I=\left. {{x}^{2}}.f\left( x \right) \right|_{0}^{4}-\int\limits_{0}^{4}{2x.f\left( x \right)dx}={{4}^{2}}f\left( 4 \right)-2.16=-16.$