Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên...

Đặt $t=5-2x\Rightarrow x=\dfrac{5-t}{2}$. Bảng biến thiên của hàm số $f\left( t \right)$ :

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $y=f\left( t \right)$ có 3 điểm cực trị.
Đặt: $g(x)=f(4{{x}^{3}}+1)$ $\Rightarrow {g}'(x)=12{{x}^{2}}{f}'(4{{x}^{3}}+1)$
${g}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'(4{{\text{x}}^{3}}+1)=0 (*) \\
\end{aligned} \right. $ có 3 nghiệm đơn)
$\Rightarrow $ hàm số $y=f\left( 4{{x}^{3}}+1 \right)$ có 3 điểm cực trị.
Hàm số $y=\left| 2f\left( 4{{x}^{3}}+1 \right)+m-\dfrac{1}{2} \right|$ có 5 điểm cực trị $\Leftrightarrow $ Hàm số $\dfrac{y}{2}=\left| f\left( 4{{x}^{3}}+1 \right)+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4} \right|$ có 5 điểm cực trị $\Leftrightarrow $ Phương trình $f\left( 4{{x}^{3}}+1 \right)+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ.
Đặt $t=4{{x}^{3}}+1\Rightarrow {t}'=12{{x}^{2}}$. Suy ra t là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Ứng với mỗi giá trị của t ta có một giá trị của x. Số nghiệm của phương trình bằng số nghiệm của phương trình
$f\left( t \right)+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0$.
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f\left( t \right)+\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{4}=0$ có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ khi và chỉ khi $\left[ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{4}-\dfrac{m}{2}\ge \dfrac{9}{4} \\
& -4<\dfrac{1}{4}-\dfrac{m}{2}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -4 \\
& \dfrac{1}{2}\le m<\dfrac{17}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2m\le -8 \\
& 1\le 2m<17 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp yêu cầu $m$ thuộc khoảng $\left( -9;9 \right)$ và $2m\in \mathbb{Z}$ ta có 26 giá trị thực của $m$ thỏa mãn đề bài.