Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $x.{f}'\left( x \right)-{{x}^{2}}{{e}^{x}}=f\left( x \right)$ và $f\left( 1 \right)=e$. Tính tích phân $I=\int_{1}^{2}{f\left( x \right)}dx$.
A. $I={{e}^{2}}-2e$.
B. $I=e$.
C. $I={{e}^{2}}$.
D. $I=3{{e}^{2}}-2e$.
A. $I={{e}^{2}}-2e$.
B. $I=e$.
C. $I={{e}^{2}}$.
D. $I=3{{e}^{2}}-2e$.
Ta có $x.{f}'\left( x \right)-{{x}^{2}}{{e}^{x}}=f\left( x \right)\Leftrightarrow x.{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)={{x}^{2}}{{e}^{x}}\Leftrightarrow \dfrac{x.{f}'\left( x \right)-{x}'.f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}={{e}^{x}}$
$\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right]}^{\prime }}={{e}^{x}}\Leftrightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{x}={{e}^{x}}+C$ mà $f\left( 1 \right)=e\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=x{{e}^{x}}$
Vậy $I=\int\limits_{1}^{2}{x{{e}^{x}}dx}=\left. x{{e}^{x}} \right|_{1}^{2}-\int\limits_{1}^{2}{{{e}^{x}}dx}=2{{e}^{2}}-e-{{e}^{2}}+e={{e}^{2}}$.
$\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right]}^{\prime }}={{e}^{x}}\Leftrightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{x}={{e}^{x}}+C$ mà $f\left( 1 \right)=e\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=x{{e}^{x}}$
Vậy $I=\int\limits_{1}^{2}{x{{e}^{x}}dx}=\left. x{{e}^{x}} \right|_{1}^{2}-\int\limits_{1}^{2}{{{e}^{x}}dx}=2{{e}^{2}}-e-{{e}^{2}}+e={{e}^{2}}$.
Đáp án C.