Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+4x \right)-{{x}^{2}}-4x$ có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng $\left( -5;1 \right)$ ?
A. $5$.
B. $4$.
C. $6$.
D. $3$.
A. $5$.
B. $4$.
C. $6$.
D. $3$.
Đặt $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+4x \right)-{{x}^{2}}-4x$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\left( 2x+4 \right){f}'\left( {{x}^{2}}+4x \right)-\left( 2x+4 \right)=\left( 2x+4 \right)\left[ {f}'\left( {{x}^{2}}+4x \right)-1 \right]$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x+4=0 \\
& {{x}^{2}}+4x=-4 (1) \\
& {{x}^{2}}+4x=0 (2) \\
& {{x}^{2}}+4x=a\in \left( 1;5 \right) (3) \\
\end{aligned} \right.$.
Xét phương trình ${{x}^{2}}+4x=a\in \left( 1;5 \right)$, ta có BBT của hàm số $y={{x}^{2}}+4x$ trên $\left( -5;1 \right)$ như sau:
Suy ra (1) có nghiệm kép $x=-2$, (2) có 2 nghiệm phân biệt $x=-4;x=0$, (3) có 2 nghiệm phân biệt $x={{x}_{1}};x={{x}_{2}}$ khác $-2; 0; -4$. Do đó phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có 5 nghiệm trong đó có $x=-2$ là nghiệm bội ba, các nghiệm $x=-4;x=0$ ; $x={{x}_{1}};x={{x}_{2}}$ là các nghiệm đơn.
Vậy $g\left( x \right)$ có 5 điểm cực trị.
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\left( 2x+4 \right){f}'\left( {{x}^{2}}+4x \right)-\left( 2x+4 \right)=\left( 2x+4 \right)\left[ {f}'\left( {{x}^{2}}+4x \right)-1 \right]$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x+4=0 \\
& {{x}^{2}}+4x=-4 (1) \\
& {{x}^{2}}+4x=0 (2) \\
& {{x}^{2}}+4x=a\in \left( 1;5 \right) (3) \\
\end{aligned} \right.$.
Xét phương trình ${{x}^{2}}+4x=a\in \left( 1;5 \right)$, ta có BBT của hàm số $y={{x}^{2}}+4x$ trên $\left( -5;1 \right)$ như sau:
Suy ra (1) có nghiệm kép $x=-2$, (2) có 2 nghiệm phân biệt $x=-4;x=0$, (3) có 2 nghiệm phân biệt $x={{x}_{1}};x={{x}_{2}}$ khác $-2; 0; -4$. Do đó phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có 5 nghiệm trong đó có $x=-2$ là nghiệm bội ba, các nghiệm $x=-4;x=0$ ; $x={{x}_{1}};x={{x}_{2}}$ là các nghiệm đơn.
Vậy $g\left( x \right)$ có 5 điểm cực trị.
Đáp án A.