Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên...

Đặt $g\left(x\right)=f(x^2+4x)-x^2-4x$
$\Rightarrow g^{\prime }\left(x\right)=(2x+4)f^{\prime }(x^2+4x)-(2x+4)=(2x+4)[f^{\prime }(x^2+4x)-1]$.
Ta có $g^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& 2x+4=0\\ & x^2+4x=-4(1)\\ & x^2+4x=0(2)\\ & x^2+4x=a\in (1;5)(3)\end{array}$.
Xét phương trình $x^2+4x=a\in (1;5)$, ta có BBT của hàm số $y=x^2+4x$ trên $(-5;1)$ như sau:

Suy ra (1) có nghiệm kép $x=-2$, (2) có 2 nghiệm phân biệt $x=-4;x=0$, (3) có 2 nghiệm phân biệt $x=x_1;x=x_2$ khác $-2;0;-4$. Do đó phương trình $g^{\prime }\left(x\right)=0$ có 5 nghiệm trong đó có $x=-2$ là nghiệm bội ba, các nghiệm $x=-4;x=0$ ; $x=x_1;x=x_2$ là các nghiệm đơn.
Vậy $g\left(x\right)$ có 5 điểm cực trị.